\chapter{Principes de la dynamique}
Dans ce chapitre, nous verrons les principes fondamentaux de la dynamique, les principes de \textit{Newton}, qui nous permettrons de comprendre les mouvements et leurs causes. Ces trois principes sont à la base de toute la mécanique classique, et ils ont été pendant au moins un siècle la seule méthode d'investigation des phénomènes mécaniques.

\section{Lois de Newton}
\subsection{\texorpdfstring{$1^{ere}$}~ loi de Newton : Principe d'inertie}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
	Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
\end{definition}

\vspace{0.2cm}

En relativité restreinte, l'inertie d'un corps peut être calculée par la formule suivante :

\[ I = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]

Où :
\begin{itemize}
	\item $m$ : masse ($kg$)
    \item $v$ : vitesse de l'objet ($m/s$)
    \item $c$ : vitesse de la lumière ($m/s$)
\end{itemize}
\bigskip

Il est évident, avec cette formule, que si la vitesse de l'objet est nulle ($v = 0$), l'inertie est égale à la masse de l'objet. Pour un corps humain en mouvement intrinsèque, même rapide (sprint humain $\sim$ 45km/h), la formule peut s'approximer à :

\[\mybox{I \simeq m}\]

\vspace{0.2cm}

L'inertie peut être vue comme la tendance d'un corps à résister à une modification de son état de repos ou de mouvement \underline{rectiligne} uniforme (MRU).
Donc, pour un corps isolé ou corps pseudo-isolé, l'accélération (linéaire) est nulle (i.e. sa direction et sa vitesse sont constantes).
La masse (inertielle) $m$ d'un corps est la mesure de son inertie de translation (i.e. de sa résistance à une accélération en ligne droite).
\bigskip

% \subsubsection*{Corollaire : Inertie}
% Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer son état de mouvement de translation.
% En rotation, c'est le moment d'inertie $I$ d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe (accélération angulaire).

\subsubsection*{Corollaire : Moment d'inertie}
L'inertie est donc la tendance d'un corps à résister à sa mise en mouvement ou la modification de son mouvement.
Pour la tendance d'un corps à résister à sa mise en mouvement angulaire (rotation), nous parlons de \textit{moment d'inertie}.
Le moment d'inertie caractérise également la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein.
% C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.

\begin{definition}
	Le moment d'inertie d'un corps quantifie la résistance de ce corps à une accélération angulaire (à sa mise en rotation).
\end{definition}

\newpage
Le moment d'inertie peut être formulée telle que :

\[\mybox{\vec{I} = m \times \vec{r}^{~2}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{I}$ : moment d'inertie (en $kg.m^2$)
	\item $m$ : masse ($kg$)
	\item $r$ : distance par rapport à l'axe de rotation ($m$)
\end{itemize}
\bigskip

% Nous utiliserons le moment d'inertie dans le syllabus de biomécanique (dans les chapitres sur les \textit{rotations transversales} le \textit{controle de rotations}).

\subsection{\texorpdfstring{$2^{eme}$}~ loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
	L'accélération subie par un corps (dans un référentiel galiléen) est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse $m$.\par
\end{definition}

Pour les mouvements linéaires, la deuxième loi de Newton peut être exprimé par l'équation :

\[\mybox{\vec{F} = m \times \vec{a}}\]

Où :
\begin{itemize}
	\item $\vec{F}$ : intensité de la force ($N$)
	\item $m$ : masse du corps ($kg$)
	\item $\vec{a}$ : accélération du corps ($m/s^2$)
\end{itemize}
\bigskip

En d'autres termes, s'il y a eu accélération, il y a eu l'application d'une force.
Et une modification de la trajectoire implique une accélération (positive ou négative) dans différentes directions.

\subsubsection*{Corollaire : Moment et accélération angulaire}
Le principe fondamental de la dynamique pour un solide en rotation dit que son moment de force externe à laquelle il est soumis est égale au produit de son moment d’inertie et de son accélération angulaire.

\[\mybox{\vec{\mathcal{L}} = \vec{I} \times \vec{\alpha}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{\mathcal{L}}$ : moment ($N.m$)
    \item $\vec{I}$ : moment d'inertie (en $kg/m^2$)
	\item $\vec{\alpha}$ : accélération angulaire ($rad/s^2$)
\end{itemize}
\bigskip

\begin{morebox}
    Par définition, nous avons :

    \[ \vec{\mathcal{L}} = \vec{F_t} \times r \]

    Par la première loi de Newton, nous avons :

    \[ \vec{F_t} = m \times \vec{a_t} \]

    Où :
    \begin{itemize}
        \item $\vec{F_t}$ : force tengentielle ($N.m$)
        \item $\vec{a_t}$ : accélération tengentielle (en $m.s^2$)
    \end{itemize}

    \[ ~~\rightarrow~~ \vec{\mathcal{L}} = m \times \vec{a_t} \times r \]

    Si $r$ est non nul :

    \[  \vec{\mathcal{L}}  = m \times r^2 \times \frac{\vec{a_t}}{r} \]

    Or, par définition du moment d'inertie :

    \[ \vec{I} = m \times r^2 \]

    Et par définition de l'accélération tangentielle :

    \[ \frac{\vec{a_t}}{r} = \vec{\alpha} \]

    Donc

    \[  \vec{\mathcal{L}}  = \vec{I} \times \vec{\alpha} \]

    On obtient ainsi une forme similaire au PFD en translation.
\end{morebox}

\subsubsection*{En résumé}
Un parallèle peut être fait entre le \textit{principe fondamental de la mécanique} (PFD) en translation et celui en rotation :
\begin{table}[h!]
    \centering
    \begin{tabular}{ l | c | c }
        \textbf{Grandeur}                & \textbf{Translation}                   & \textbf{Rotation}              \\
        \hline
        ~& & \\[-2pt]
        Effort                  &   Force $\vec{F}$ ($N$)               &   Moment $\vec{\mathcal{L}}$ ($N.m$)                      \\[8pt]
        Inertie                 &   Masse $m$ ($kg$)              &   Moment d'inertie $\vec{I}$ ($kg.m^2$)                 \\[8pt]
        Variation du mouvement  &   Accélération a ($m/s^2$)  &   Accélération angulaire $\vec{\alpha}$  ($rad.s^2$) \\[8pt]
        \hline
        & & \\
        \textbf{Formule}        &   $ \vec{F} = m \times \vec{a} $  & $ \vec{\mathcal{L}} = \vec{I} \times \vec{\alpha} $ \\[10pt]
    \end{tabular}
\end{table}

\subsection{\texorpdfstring{$3^{eme}$}s~loi de Newton : Principe d'action-réaction\label{actionreaction}}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
	L'action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.\par
\end{definition}

\vspace{0.2cm}

En d'autres termes, lorsqu'un corps exerce une force sur un autre, le second exerce lui aussi une force égale en grandeur et de même direction, mais de sens opposé sur le premier.
Plus simplement, chaque action déclenche une réaction égale et de sens opposé : pour chaque action $\vec{F}$, il existe une réaction $\vec{R}$.\par

Exemples :\par

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	\centering
	Rebond d'un ballon\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	\centering
	ATR rebond\par
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.5]{../Img/rebondBallon.png}\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.4]{../Img/rebondATR.png}\par
\end{minipage}

Cette loi est également connue sous le nom de la \textit{loi des actions réciproques}.
Nous en reparlerons dans le chapitre relatif à \textit{la dynamique} dans le syllabus de biomécanique.

\newpage

\section{Quantité de mouvement}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
    La quantité de mouvement (\textit{momentum} en anglais) d'un corps est le produit de la masse par la vitesse.
\end{definition}

\[ \mybox{ \vec{p} = m \times \vec{v} } \]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{p}$ : quantité de mouvement (en $kg.m/s$)
    \item $m$ : masse du corps ($kg$)
    \item $\vec{v}$ : vitesse du corps ($m/s$)
\end{itemize}
\bigskip

La quantité de mouvement peut être vue comme le maintien d'une \textbf{impulsion}.
Pour un corps isolé ou pseudo-isolé, la quantité de mouvement reste constant.
\bigskip

\begin{morebox}
    Si on dérive l’expression ci-dessus par rapport au temps, on a, étant la masse un scalaire invariable,

    \[ \mybox{ {p'} = m \times {a} } \]

    et donc, par le deuxième principe de Newton on a que

    \[ \mybox{ {p'} = \vec{F} } \]

    où $F$ est la résultante des forces agissant sur le corps.
    Cette équation est l’\textit{\textbf{équation de conservation de la quantité de mouvement}}.
    On voit que si $F = 0$, la dérivée du vecteur \textit{quantité de mouvement} est nulle ; il est donc constant.
\end{morebox}

\section{Impulsion}
La notion d'\textit{impulsion} %ou de \textit{moment linéaire}
généralise celle de quantité de mouvement.
L'impulsion peut être vue comme la variation de quantité de mouvement entre deux instants.
Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas.
Néanmoins ces deux grandeurs sont distinctes.

\[\mybox{I = F \times t}\]
Où :
\begin{itemize}
    \item $I$ : impulsion
    \item $F$ : intensité de la force $\vec{F}$
    \item $t$ : temps de l'impulsion (en $s$)
\end{itemize}
\bigskip

Pour maximiser l'impulsion, il faut donc que la force appliquée soit la plus grande possible et qu'elle le soit pendant le temps le plus long possible.

\newpage

\begin{morebox}
    Les notions d'impulsion et de quantité de mouvement sont équivalentes lorsque la vitesse est linéaire (i.e. non angulaire) :

    \[I = F \times t ~~et~~ F = m \times a ~~\rightarrow~~ I = m \times a \times t\]
    Or
    \[a = \frac{v}{t} \]
    Donc
    \[I = m \times \frac{v}{\cancel{t}} \times \cancel{t} = m \times v = P\]
\end{morebox}

\newpage

\begin{knowledgebox}
	\begin{itemize}
		\item les 3 lois de Newton
        \item le moment d'inertie
        \item la quantité de mouvement
        \item l'impulsion
	\end{itemize}
\end{knowledgebox}

\begin{skillsbox}
	\begin{itemize}
		\item calculer l'inertie et le moment d'inertie
        \item calculer le moment d'un object
		\item calculer la quantité de mouvement
        \item calculer l'impulsion
	\end{itemize}
\end{skillsbox}

% Le moment d'inertie est une grandeur physique qui caractérise la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein.
% Il quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une accélération angulaire), et a pour dimension M·L² (le produit d'une masse et du carré d'une longueur, qui s'exprime en kg·m² dans le S.I.).
% C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.

\newpage
\section{Pratique}

\subsection*{Question 1}
Que dis la première loi de Newton ?
\begin{enumerate}
    \item Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
    \item L'accélération subie par un corps est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse.
    \item Les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 2}
La première loi de Newton n'est valable que dans deux cas bien précis. Lesquels ?
\begin{enumerate}
    \item L'objet est au repos
    \item L'objet est en rotation autour d'un axe fixe
    \item L'objet est animé d'un mouvement rectiligne uniforme
    \item L'objet est en rotation à vitesse constante
\end{enumerate}

\subsection*{Question 3}
Soit $F$ la somme des forces extérieurs s'appliquant à un objet. Que dis la deuxième loi de Newton concernant $F$ ?
\begin{enumerate}
    \item $F = ma$
    \item $F = 0$
    \item $F \neq 0$
    \item $F = mv$
\end{enumerate}

\subsection*{Question 4}
L'inertie d'un corps est :
\begin{enumerate}
    \item Sa masse.
    \item Son poids.
    \item Son énergie potentielle.
    \item L'intensité des forces s'appliquant sur lui.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 5}
Qu'est-ce qu'un moment d'inertie ?
\begin{enumerate}
    \item Une grandeur proportionnelle au carré de la masse.
    \item Un élément cinématique proportionnel à la quantité de mouvement.
    \item Une grandeur qui joue le rôle de la masse en cas de rotation.
    \item Le temps pendant lequel un corps peut résister à une force.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 6}
Quelle est la formule du moment d'inertie ?
\begin{enumerate}
    \item $\vec{I} = mr^2$
    \item $\vec{I} = m$
    \item $\vec{I} = Pr^2$
    \item $\vec{I} = P$
\end{enumerate}

\subsection*{Question 7}
Dans quel(s) cas le moment d'inertie d'un corps vivant reste-t-il constant ?
\begin{enumerate}
    \item Jamais
    \item S'il est isolé
    \item S'il est pseudo-isolé
    \item Toujours
\end{enumerate}

\subsection*{Question 8}
Que dit la deuxième loi de Newton ?
\begin{enumerate}
    \item Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
    \item L'accélération subie par un corps est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse.
    \item Les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 9}
La seconde loi de Newton porte également un autre nom. Lequel ?
\begin{enumerate}
    \item Principe d'action/réaction
    \item Principe de moindre action
    \item Principe fondamental de la dynamique
    \item Principe de Newton-Fermat
\end{enumerate}

\subsection*{Question 10}
Un corps en MRU voit sa vitesse décroitre petit à petit et finit par s'arrêter. Ce corps était-il isolé ?
\begin{enumerate}
    \item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 11}
Un corps voit sa trajectoire instantanément changer sans perte de vitesse. Ce corps était-il isolé ?
\begin{enumerate}
    \item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 12}
Un corps en MRU voit sa vitesse décroitre petit à petit et finit par s'arrêter. Ce corps était-il pseudo-isolé ?
\begin{enumerate}
    \item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 13}
Un corps voit sa trajectoire instantanément changer sans perte de vitesse. Ce corps était-il pseudo-isolé ?
\begin{enumerate}
    \item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 14}
Que dit la troisième loi de Newton ?
\begin{enumerate}
    \item Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
    \item L'accélération subie par un corps est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse.
    \item Les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 15}
Quel est l'autre nom porté par la troisième loi de Newton ?
\begin{enumerate}
    \item Principe d'action/réaction
    \item Principe fondamental de la dynamique
    \item Principe de Newton-Descartes
    \item Principe de moindre temps
\end{enumerate}

\subsection*{Question 16}
Quelle est la définition de la quantité de mouvement ?
\begin{enumerate}
    \item Le produit de la masse par la vitesse
    \item Le produit de la masse par l'accélération
    \item Le produit du poids par le temps
    \item Le produit de la force appliquée par le temps
\end{enumerate}

\subsection*{Question 17}
Dans quelles conditions la quantité de mouvement reste-elle constante ?
\begin{enumerate}
    \item Quand la résultante des forces est nulle.
    \item Pour les corps isolés et pseudo-isolés.
    \item Pour les corps en apesanteur.
    \item Aucune ; la quantité de mouvement n'est jamais constante.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 18}
Quel est l'effet d'une force sur la quantité de mouvement ?
\begin{enumerate}
    \item Une variation au cours du temps.
    \item Une rotation de la vitesse.
    \item Un moment de profonde réflexion.
    \item Aucun ; la force n'a pas d'effet sur la quantité de mouvement.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 19}
Quelle est la définition de l'impulsion ?
\begin{enumerate}
    \item l'impulsion est la variation de la quantité de mouvement au cours du temps.
    \item l'impulsion est la cause de mise en mouvement d'un objet.
    \item l'impulsion est la force avec un corps frappe sur une surface.
    \item l'impulsion est le produit de son angle par la vitesse linéaire.
\end{enumerate}