\chapter{La statique\label{chap_static}}
\section{Polygone de sustentation}
\begin{definition}
    Le \textit{polygone de sustentation} ou \textit{surface de sustentation} est la plus petite enveloppe \textbf{convexe} contenant tous les points de contact entre le corps et le support
\end{definition}

\begin{definition}
    Un polyèdre convexe est un polyèdre tel que tout segment joignant deux de ses points est situé tout entier dans celui-ci.
\end{definition}

\begin{minipage}[l]{.55\linewidth}
    En d'autres termes, le polygone de sustentation est le plus petit polygone convexe reliant l’ensemble des points par lesquels un corps repose sur une surface.
    \bigskip

    \par

    Comme nous le verrons plus tard, la stabilité d'un corps varie en fonction de la position du centre de gravité par rapport à ce polygone.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{.35\linewidth}
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/sustentation.png}
\end{minipage}

\section{L'équilibre}
\begin{definition}
    Un corps est en équilibre statique quand les effets des forces qui agissent sur lui se neutralisent.
\end{definition}

La notion d'\textit{équilibre} implique souvent une notion de repos (aucun mouvement).
C'est d'autant plus le cas ici, en \textit{équilibre statique}.
\bigskip

La définition de l'équilibre statique implique donc que la résultante des forces qui s'exercent sur le corps soit nulle mais aussi que la résultante des moments de forces soit nulle.
Mis en formule, cela donne :
\[\mybox{\sum_i \vec{F}_i = 0 ~et~ \sum_i \overrightarrow{\mathcal{L}(\vec{F}_i)} = 0}\]

\begin{minipage}[c]{.55\linewidth}
    Pour être en position d'équilibre, il faut que la projection du centre de gravité soit dans le polygone de sustentation.\par
    \vspace{1cm}
    \begin{itemize}
        \item $\vec{P}$ : poids du corps\par
        \vspace{0.5cm}
        \item $\vec{R}$ : réaction du sol
    \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.35\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=2.5]{../Img/equilibre.png}
\end{minipage}

\section{Stabilité d'un corps}
\begin{definition}
    La stabilité d’un corps représente sa capacité à maintenir son état d’équilibre.
\end{definition}
Plus un corps est stable, plus il offrira de \textit{résistance} à une perturbation de son état d’équilibre : un équilibre est dit stable si, à la suite d'une perturbation qui a éloigné le système de sa position d'équilibre, celui-ci y retourne spontanément.
Dans le cas contraire l'équilibre est dit instable.

\subsection{Facteurs de stabilité}
La stabilité d'un corps en équilibre est dépendante de deux facteurs principaux :
\begin{itemize}
    \item le polygone de sustentation (surface, forme, \ldots) et
    \item le centre de gravité (dépendant de la masse du corps : valeur, répartition, \ldots).
\end{itemize}
\bigskip

C'est le rapport de ces deux facteurs l'un par rapport à l'autre qui déterminera le type de stabilité : la stabilité est proportionnelle au polygone de sustentation et inversement proportionnelle à la hauteur du centre de gravité.
\bigskip

\begin{minipage}[t]{.39\linewidth}
   \centering
   Equilibre stable\par
   \includegraphics[scale=0.4]{../Img/equilibrestable.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.59\linewidth}
    \centering
    Equilibre de plus en plus instable\par
    \includegraphics[scale=2]{../Img/equilibre_instable.png}
\end{minipage}

Un équilibre en suspension est plus stable qu’un équilibre au-dessus de ses appuis.
Un corps restera plus facilement en équilibre s’il présente la forme d’un pendule (i.e. objet suspendu) que s’il présente la forme d’un cône inversé en appui sur sa pointe (e.g. gymnaste dans une toile de trampoline).
\medskip

Plus la projection du centre de gravité est proche du centre du polygone de sustentation, plus l'équilibre est stable.
% : le corps est en suspension.
Cela signifie que le corps reviendra à sa position initiale s'il est modérément perturbé.
\medskip

\begin{minipage}[l]{.49\linewidth}
    \begin{itemize}
        \item {\color{green}Equilibre stable}
        \vspace{1cm}
        \item {\color{orange}Equilibre instable}
        \vspace{1cm}
        \item {\color{red}Déséquilibre}
    \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.35]{../Img/stabilite.png}
\end{minipage}

A l'opposé, plus le centre de gravité est proche de la limite du polygone de sustentation, plus l'équilibre est instable : le corps a d'autant plus de risque de quitter sa position initiale s'il est perturbé que le centre de gravité est proche de la limite.
\bigskip

Si la projection du centre de gravité est en dehors de la surface de sustentation, le corps est en déséquilibre et le mouvement, une chute, est inévitable.

\newpage

\begin{knowledgebox}
    \begin{itemize}
        \item polygone de sustentation
        \item équilibre
        \item stabilité
        \item facteurs de stabilité
    \end{itemize}
\end{knowledgebox}

\begin{skillsbox}
    \begin{itemize}
        \item estimer l'équilibre d'un corps
        \item estimer la stabilité d'un corps
    \end{itemize}
\end{skillsbox}

\newpage

\section{Pratique}

\subsection*{Question 1}
Comment se nomme la surface d’équilibre sur lequel le gymnaste se trouve ?
\begin{itemize}
    \item La surface d'équilibre.
    \item Le polygone de sustentation.
    \item La surface de tension.
    \item Le pentagone de surtension.
\end{itemize}

\subsection*{Question 2}
Le polygone de sustentation est :
\begin{enumerate}
    \item La plus grande enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
    \item La plus petite enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
    \item La plus petite enveloppe concave contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
    \item La plus grande enveloppe concave contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 3}
Dessinez les polygones de sustentation des positions suivantes :\par
\begin{minipage}[b]{.25\linewidth}
	\centering
    \includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_2_without.png}\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_1_without.png}\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_3_without.png}\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_0_without.png}\par
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_4_without.png}\par
\end{minipage}

\begin{minipage}[b]{.25\linewidth}
	\centering
	$a$
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
	\centering
	$b$
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
	\centering
	$c$
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
	\centering
	$d$
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
	\centering
	$e$
\end{minipage}

\subsection*{Question 4}
Classer les polygones de sustentation de la Question 3 par ordre de stabilité relative croissante :
\begin{enumerate}
    \item $a - b - e - c - d$
    \item $e - d - c - a - b$
    \item $c - d - b - e - a$
    \item $d - b - a - c - e$
\end{enumerate}

\subsection*{Question 5}
D'après la définition, un corps est en équilibre statique quand\ldots
\begin{enumerate}
    \item Les forces et moments de forces qui agissent sur lui se neutralisent.
    \item Il n'y a pas de force qui agissent sur lui.
    \item Sa masse est nulle.
    \item Il ne subit aucune accélération ou impulsion.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 6}
\vspace{-0.2cm}
D'après les définitions d'équilibre statique et de corps isolé, un corps isolé est-il en équilibre ?
\begin{enumerate}
	\item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 7}
\vspace{-0.2cm}
D'après les définitions d'équilibre statique et de corps pseudo-isolé, un corps pseudo-isolé est-il en équilibre ?
\begin{enumerate}
	\item Oui
    \item Non
\end{enumerate}

\subsection*{Question 8}
Qu'est-ce que la stabilité d'un corps ?
\begin{enumerate}
    \item Sa capacité à résister à un déplacement.
    \item Sa capacité à maintenir son état d'équilibre. % A REVOIR
    \item Sa capacité à résister à une mise en rotation.
    \item Sa capacité à être immobile.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 9}
La stabilité d'un corps dépend de deux facteurs. Lesquels ?
\begin{enumerate}
    \item La surface de contact et l'intensité des forces appliquées.
    \item La surface de sustentation et l'angle par rapport à l'horizontal.
    \item Le polygone de sustentation et le centre de gravité.
    \item Le centre de gravité et la résultante des forces appliquées.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 10}
Quels sont les types de dépendance de ces deux facteurs ci-dessous pour la stabilité ?
\begin{enumerate}
    \item Proportionnelle au polygone de sustentation et proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
    \item Proportionnelle au polygone de sustentation et inversement proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
    \item Inversement proportionnelle au polygone de sustentation et proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
    \item Inversement proportionnelle au polygone de sustentation et inversément proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 11}
A partir de quand il y a-t-il un déséquilibre ?
\begin{enumerate}
    \item A partir du moment où la projection du centre de gravité est sur une arête du polygone de sustentation.
    \item Tant que la projection du centre de gravité est proche du centre du polygone de sustentation.
    \item Une fois que la projection du centre de gravité sort du polygone de sustentation.
    \item Dès que le corps est soumis à une force extérieure.
\end{enumerate}