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%                               CHAPTER                                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Référentiel et forces}
Ce chapitre est là pour voir ou revoir des notions de base, essentielles aux chapitres qui suivront.

\section{Référentiel}

\begin{definition}
	Un \textbf{référentiel} est un système de coordonnées de l'espace à 3 dimensions, dont l'origine est un corps ponctuel réel ou imaginaire, et associé à une coordonnée de temps. Le référentiel permet de quantifier les positions et les déplacements. Le référentiel est lié à un observateur (réel ou imaginaire) ; il est immobile par rapport à lui.
\end{definition}

On utilise habituellement un référentiel galiléen (ou inertiel), c'est-à-dire un référentiel dans lequel un objet \textit{isolé} est soit au repos soit en mouvement de translation rectiligne uniforme : la vitesse est constante (au cours du temps) en direction et en norme.\bigskip

Ce référentiel peut se donner sous forme d'un repère cartésien orthonormé\footnote{Orientés perpendiculairement les uns aux autres}, c'est-à-dire une base orthonormée de 3 vecteurs d'espace et d'un “vecteur temps”.
%Alors les données physiques du mouvement d'un objet sont données en fonction de ce référentiel.

\begin{figure}[ht!]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.4]{../Img/referentiel_3d.png}
\end{figure}

Repère cartésien à 3 dimensions $R(O; \vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k})$ : les vecteurs unitaires $\vec{i}$, $\vec{j}$et $\vec{k}$ sont portés par les axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$.\bigskip


Pour décrire des mouvements des segments d'un corps humain, les axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$ sont peu parlant.
Il est plus intuitif de décrire les mouvements par rapport à des axes ayant une signification pour le corps humain.
Mais avant même de parler d'axes, simplifions les choses et parlons d'abord de plans.\bigskip

\newpage

Pour décrire les mouvements simples (voire simplistes) du corps humain, trois plans imaginaires appelés \textit{plans anatomiques du corps humain} sont utilisés :\bigskip

\begin{minipage}[c]{.30\linewidth}
	•\ le plan \textbf{Frontal}\par
	\vspace{2cm}
	•\ le plan \textbf{Sagittal}\par
	\vspace{2cm}
	•\ et le plan \textbf{Transversal}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.68\linewidth}
	\centering
	% \includegraphics[scale=0.29]{../Img/plans.png}
	\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/plans.png}
\end{minipage}

Le plan \textbf{frontal} est une vue de face, il divise le corps humain en deux parties, antérieure et postérieure.\par
Le plan \textbf{sagittal} est lui une vue de profil, il partage le corps en deux parties, droite et gauche.\par
Le plan \textbf{transversal} quant à lui est une vue de haut, il sépare la partie supérieure et inférieure du corps.\bigskip

En prenant l'intersection des plans anatomiques deux à deux, nous définissons trois axes :

\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	•\ \textbf{Longitudinal}\par
	\vspace{1.5cm}
	•\ \textbf{Sagittal}\par
	\vspace{1.5cm}
	•\ \textbf{Transversal}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/axes_rotation.png}
\end{minipage}

Ils correspondent aux plans anatomiques du corps humain :
\begin{itemize}
	\item L'axe longitudinal passe par la tête et les pieds (vrille – pirouette) dans le plan frontal.
	\item L'axe sagittal passe par le ventre et le dos (roue – rotation costale) dans le plan sagittal.
	\item L'axe transversal passe par les hanches (rotation salto) dans le plan transversal.\bigskip
\end{itemize}

\newpage

Autour de ces axes, les rotations sont :\par

\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\vspace{1cm}
    •\ \textbf{Longitudinales}\par
	\vspace{3.5cm}
    •\ \textbf{Sagittales}\par
	\vspace{3.5cm}
    •\ \textbf{Transversales}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_longitudinale.png}
	\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_costale.png}
	\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_transversale.png}
\end{minipage}

Ces plans anatomiques et axes de rotations formes les deux référentiels utilisés pour décrire des mouvements et rotations d'une corps humains.

\section{Force}

% \vspace{-0.8cm}
\begin{definition}
	Une \underline{force} est toute cause capable de déformer un corps, de créer ou de modifier le \underline{mouvement} d'un corps.
	Elle s'exprime en Newtons ($N$).\par
\end{definition}

Et, pour être certain de bien comprendre cette définition, nous devons également définir les deux notions suivantes :

\begin{definition}
	Le \underline{mouvement} est variation de la position d'un point, d'un solide d'un système, étudié dans un référentiel donné, en fonction du temps.\par
\end{definition}

\begin{definition}
	La \underline{trajectoire} est la courbe décrite par un point d'un corps lors de ses positions successives au cours du temps.\par
\end{definition}

\newpage

\subsection{Caractéristiques d'une force}
Les forces sont schématisées par des flèches appelées \textbf{vecteurs}. Ce mode de représentation permet de stocker dans un dessins très simple les quatre caractéristiques de l'action d'une force :
\begin{itemize}
	\item \textbf{point d'application} : endroit où la force agit.
	\item \textbf{droite d'action} : droite suivant laquelle va s'exercer la force.
	\item \textbf{sens} : positif ou négatif suivant si elle agit dans le sens ou contre le mouvement.
	\item \textbf{intensité} : grandeur de la force.\bigskip
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.3]{../Img/definition_force.png}
\end{figure}

Le symbole $\vec{F}$ utilisé pour désigner une force rappelle le caractère vectoriel de cette grandeur physique.\bigskip

En biomécanique, nous distinguerons :
\begin{itemize}
	\item les \textbf{forces internes} : qui sont des actions musculaires sur les \underline{leviers} osseux, et
	\item les \textbf{forces externes} : qui sont des contraintes liant le corps à l'environnement (e.g. : gravitation, frottements, réactions, actions d'autrui, \ldots).
\end{itemize}

\vspace{0.4cm}


\subsection{Composition d'une force}
Si un corps est soumis à plusieurs forces $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \ldots, \vec{F_n}$ en même temps, l’effet résultant est le même que si on n’avait qu’une seule force $\sum \vec{F}$, appelée \textit{résultante}.\medskip

\begin{definition}
	On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous les vecteurs forces qui s’appliquent à un corps.
	\[\sum \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \ldots + \vec{F_n}\]
\end{definition}

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	Pour trouver la résultante $\sum\vec{F}$ de deux forces $\color{blue}\vec{F_1}$ et $\color{green}\vec{F_2}$, il faut translater les vecteurs tel que l’origine du second vecteur soit placée à l’extrémité du premier (ou inversement). En reliant l’origine du premier vecteur à l’extrémité du second vecteur, nous obtenons la résultante.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.6]{../Img/composition_de_force.png}
\end{minipage}

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
	\vspace{0.5cm}
	La résultante $\color{red}\vec{F_3}$ de deux forces, $\color{blue}\vec{F_1}$ et $\color{green}\vec{F_2}$, est donc la diagonale du parallélogramme dont ces deux forces constituent deux côtés consécutifs.
	\vspace{0.5cm}
	\[\color{red}\vec{F_3} \color{black}= \color{blue}\vec{F_1} \color{black}+ \color{green}\vec{F_2}\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.6]{../Img/Parallelogramme_des_forces.png}
\end{minipage}
En biomécanique, le plus souvent, son point d'application est ramené au \textit{centre de gravité} du corps.


\subsection{Décomposition d'une force}
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[scale=0.70]{../Img/decomposition_force.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	A l'inverse, une force $\color{red}\vec{F}$ peut être décomposée en deux forces composantes $\color{blue}\vec{F_y}$ et $\color{green}\vec{F_x}$, pour lesquelles les directions verticale $\color{blue}y$ et horizontale $\color{green}x$ sont souvent choisies avec :
	\begin{itemize}
		\item[] $\color{blue}\vec{F_y} \color{black}= \color{red}\vec{F} \color{black}\times \sin \color{orange}\beta$
		\item[] $\color{green}\vec{F_x} \color{black}= \color{red}\vec{F} \color{black}\times \cos \color{orange}\beta$
	\end{itemize}
\end{minipage}



\subsection{Multiplication de force}
Comme nous l'avons vu, les forces sont schématisées par des vecteurs.
Cela permet de les additions ou de les décomposer facilement.
Il est également possible de multiplier des vecteurs et donc des forces.
\begin{definition}
    le produit vectoriel, noté $\wedge$, de deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ non colinéaires se définit comme l'unique vecteur $\vec{c}$ tel que :
    \begin{itemize}
        \item le vecteur $\vec{c}$ est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
        \item $\parallel\vec{c}\parallel = \parallel\vec{a}\parallel ~ \parallel\vec{b}\parallel ~ |sin (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})|$
        \item la base $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ est de sens direct,
    \end{itemize}
    et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul par définition.
\end{definition}

% \subsubsection*{Simplification}
% Comme nous travaillons dans un espace à trois dimensions $(a, b, c)$ dans lequel chaque axe est \underline{orthogonal} aux deux autres et que les forces peuvent être décomposées dans ces trois dimensions, $|sin (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})|$ vaudra souvent soit $1$ soit $-1$.

\subsubsection*{Sens direct}
La multiplication de deux nombres $x$ et $y$ est symétrique.
Cela signifique que :
\[x \times y = y \times x\]

Pour la multiplication de vecteur ce n'est pas le cas : multiplier $\vec{a}$ par $\vec{b}$ n'équivaut pas à multiplier $\vec{b}$ par $\vec{a}$

\[\vec{a} \wedge \vec{b} \neq \vec{b} \wedge \vec{a}\]

Le \underline{sens direct} de l'espace correspond au mouvement d'une vis.\medskip

\begin{minipage}[c]{.54\linewidth}
    Prenons le dessin de droite comme exemple.\medskip

    A l'aplomb du plan formé par $\color{red}\vec{a}$ et $\color{blue}\vec{b}$, si pour aller de $\color{red}\vec{a}$ à $\color{blue}\vec{b}$ nous tournons dans le sens \underline{inverse} des aiguille d'une montre (nous dévissons) $\color{green}\vec{c}$ sort (monte/se retire) du plan $ab$ par le haut.\medskip

    Par contre si nous multiplions $\color{blue}\vec{b}$ par $\color{red}\vec{a}$ (c-à-d. nous allons de $\color{blue}\vec{b}$ vers $\color{red}\vec{a}$), nous tournons dans le sens des aiguilles d'une montre, le résultat ($-\vec{c}$) s'enfonce (descend) dans le plan $ab$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.44\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/multiplication_vectorielle.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.6]{../Img/sens_multiplication_vect.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    Comment être sûr de bien orienter $\vec{c}$~ ?\medskip

    Considérons une main \underline{droite}. Si $\vec{a}$ est l'index et $\vec{b}$ le majeur, la multiplication de $\vec{a}$ par $\vec{b}$ ($\vec{a} \wedge \vec{b}$) en \underline{base directe} sera $\vec{c}$ qui lui aura la direction du pouce.
\end{minipage}



\subsection{Moment d'une force}
\vspace{-0.2cm}
% Représenter le moment d'une force, schématiquement
\begin{definition}
	Le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à un point est l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de ce point (appelé pivot).
\end{definition}

En d'autres termes, le moment d'une force est l'efficacité de celle-ci à faire tourner un objet par rapport à un point donné.
En physique, la notion de \textit{moment} fait donc toujours référence à une \textit{rotation}.\bigskip

\vspace{-0.2cm}
\[\mybox{\vec{\mathcal{L}} = \vec{F} \wedge \vec{d}}\]

Où :
\begin{itemize}
	\item $\vec{\mathcal{L}}$ : moment de force en $N.m$ ($\| \mathcal{L} \|$ : intensité de moment
	\item $\vec{F}$ : force en $N$ ($\|F\|$ : intensité de la force)
	\item $\vec{d}$ : bras de levier de la force en $m$ ($\| d \|$ : longueur du bras de levier)
	\item $\beta$ : angle entre le bras de levier et la force\par\bigskip
\end{itemize}


\vspace{-0.2cm}
\[\mybox{\| \vec{\mathcal{L}} \| = \| \vec{F} \| \times \| d \| \times \sin \beta}\]\bigskip

\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	Il est donc possible d'augmenter le moment d'une force en jouant sur l'angle entre le bras de levier et la force ou en augmentant soit l'intensité de la force, soit le bras de levier.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/moment_force.png}
\end{minipage}

\vspace{0.6cm}

\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	\centering
	\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/moment_de_force.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
	Donc lorsque l'angle $\beta$ vaut $0\degree$ ou $180\degree$, le moment de force est nul. Quand il vaut $90\degree$ ou $270\degree$ le moment de force est maximal. C'est constatable intuitivement : si on tire ou qu'on pousse sur une porte dans la direction de sa largeur, elle ne va pas tourner.
\end{minipage}


\newpage

\subsection{Les leviers}
En mécanique, un levier est une pièce rigide, allongée, généralement en liaison pivot ou en simple appui par rapport à une partie fixe, qui permet de transformer un mouvement.
Les leviers sont traditionnellement séparés en trois classes suivant la position du point d'appui et des forces :
\begin{itemize}
    \item levier inter-appui,
    \item levier inter-résistant et
    \item levier inter-moteur.
\end{itemize}

\subsubsection{Levier inter-appui}
\begin{minipage}{.29\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/levier_inter_appui.png}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{.69\linewidth}
    Le point d'appui est situé entre les deux forces.\bigskip

    Exemples : le muscle triceps brachial du bras, un frein à main de vélo, un pied-de-biche (côté incurvé), un arrache-clou, une pince-tenaille, des ciseaux, un diable, un mors, un trébuchet, une balance, \ldots
\end{minipage}

\subsubsection{Levier inter-résistant}
\begin{minipage}{.49\linewidth}
    La résistance est située entre l’articulation et le point d’application de la force.
    % Ce type de levier est moins fréquent dans l’organisme, il est souvent impliqué dans des mouvements précis et de faible amplitude.
    % Le muscle développant la force possède une insertion sur le levier fixe, proche de l’articulation, et une insertion sur le levier mobilisé très éloigné de l’articulation.
    \bigskip

    Exemples : une porte, un casse-noix, un tremplin de plongeon, une brouette, une clef, un décapsuleur, un pied-de-biche (côté droit), des pompes ou des rames (double leviers), un massicot à levier, \ldots
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/levier_inter_resistant.png}
\end{minipage}

\subsubsection{Levier inter-moteur} % inter-puissant
\vspace{0.2cm}
\begin{minipage}{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/levier_inter_moteur.png}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{.49\linewidth}
    Le point d’application de la force musculaire est situé entre l’articulation et la résistance.
    % Le point d’application de la force $\vec{F}$ correspond au point d’insertion du muscle sur le levier mobile.
    \bigskip

    % Dans l’exemple de la course, les muscles postérieurs de la cuisse agissent sur la jambe.
    % le mouvement de la jambe sur la cuisse mobilise l’articulation du genou.
    % Un tel levier permet donc à un muscle d’engendrer un déplacement rapide des extrémités du membre, pour un petit raccourcissement.

    Exemples : le muscle biceps brachial, une batte de baseball, une fronde, une pagaie, un balai, une canne à pêche, une crosse de hockey, brucelles et pince à chiqueter, un coupe-ongles, un piège à souris, une pelle, une agrafeuse, une houe, une faux, \ldots
\end{minipage}

% Par contre cet avantage dynamique nécessite en contre partie une forte action musculaire $\vec{F}$, pour une faible résistance $\vec{R}$, parce que $d_1$ est bien inférieur a $d_2$.\medskip

\newpage

\begin{knowledgebox}
	\begin{itemize}
        \item les 3 plans anatomiques
		\item les 3 axes anatomiques
		\item les 3 rotations
		\item une force
		\item le moment d'une force
	\end{itemize}
\end{knowledgebox}

\begin{skillsbox}
	\begin{itemize}
        \item additionner des forces
		\item décomposer une force
		\item calculer un moment de force
	\end{itemize}
\end{skillsbox}

\newpage
\section{Pratique}

\subsection*{Question 1}
\vspace{-0.4cm}
Quels sont les trois plans anatomiques ?
\begin{enumerate}
	\item Frontal, costal et coronal.
	\item Longitudinal, coronal et transversal.
	\item Frontal, sagittal et transversal.
	\item Longitudinal, sagittal et transversal.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 2}
\vspace{-0.4cm}
Lequel de ces plans sépare le corps en deux parties : antérieurs et postérieure ?
\begin{enumerate}
	\item Frontal.
	\item Longitudinal.
	\item Sagittal.
	\item Transversal.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 3}
\vspace{-0.4cm}
Lequel de ces plans sépare le corps en deux parties : droite et gauche ?
\begin{enumerate}
	\item Frontal.
	\item Coronal.
	\item Sagittal.
	\item Transversal.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 4}
\vspace{-0.4cm}
Lequel de ces plans sépare le corps en deux parties : supérieure et inférieure ?
\begin{enumerate}
	\item Frontal.
	\item Longitudinal.
	\item Sagittal.
	\item Transversal.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 5}
\vspace{-0.4cm}
Quels sont les trois type de rotations ?
\begin{enumerate}
	\item Avant, arrière, vrille.
	\item Frontale, sagittale et horizontale.
	\item Longitudinale, sagittale et transversale.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 6}
\vspace{-0.4cm}
Quels sont les trois axes de rotations ?
\begin{enumerate}
	\item Frontal, sagittal et transversal.
	\item Longitudinal, sagittal et transversal.
	\item Longitudinal, coronal et transversal.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 7}
\vspace{-0.4cm}
Une force est caractérisée par :
\begin{enumerate}
	\item Une origine, une direction et une intensité.
	\item Un point d'application, une origine, un sens et une valeur.
	\item Un point d'application, une ligne d'action, une direction et une intensité.
	\item Un point d'application, un sens et une intensité.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 8}
\vspace{-0.4cm}
Lorsque deux forces ($\vec{F_1}$ et $\vec{F_2}$) ont le même point d’application, la même direction et la même intensité $F$ mais que le sens est opposé, quelle sera la résultante ?
\begin{enumerate}
	\item $F^2$
	\item $2F$
	\item $0$
	\item $\sqrt{2}F$
\end{enumerate}

\subsection*{Question 9}
\vspace{-0.4cm}
Quelle est la définition d'un moment de force ?
\begin{enumerate}
	\item Un moment d'une force est la rotation engendrée par un ensemble de forces appliquées à un corps dont la résultante est nulle mais qui met le corps en rotation.
	\item Un moment d'une force est l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour d'un point.
	\item Un moment d'une force est la somme vectorielle de toutes les forces que subit un corps.
    \item Un moment d'une force et le temps pendant lequel la force s'applique sur le corps étudié.
\end{enumerate}

\subsection*{Question 10}
\vspace{-0.4cm}
Quel effet de la force est exprimé par son moment ?
\begin{enumerate}
	\item Une rotation
	\item Une variation de l'accélération du corps
	\item Une variation de sa vitesse (accélération)
    \item l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace (l'objet subissant la force se déplace ou se déforme)
\end{enumerate}

\subsection*{Question 11}
\vspace{-0.4cm}
Comment optimiser l'effet de rotation d'une force de faible intensité ?
\begin{enumerate}
	\item Appliquer la force perpendiculairement au mouvement
	\item Appliquer la force perpendiculairement au mouvement et loin de l'axe de rotation
	\item Appliquer un couple de forces
    \item Appliquer la force que un corps le plus grand possible
\end{enumerate}

\subsection*{Question 12}
\vspace{-0.4cm}
L'intensité d'un moment de force est maximum lorsque la force est alignée avec le bras de levier.
\begin{enumerate}
	\item Vrai
	\item Faux
\end{enumerate}

\subsection*{Question 13}
\vspace{-0.4cm}
Le moment d'une force est maximum lorsque la force forme les angles suivants avec le bras de levier :
\begin{enumerate}
	\item $45\degree$ et $135\degree$
	\item $90\degree$ et $270\degree$
	\item $0\degree$ et $180\degree$
	\item $60\degree$ et $120\degree$
\end{enumerate}