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TeX
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\chapter{Les forces}
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\vspace{-0.8cm}
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\begin{definition}
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Une force est toute cause capable de déformer un corps, de créer ou de modifier le mouvement d'un corps.
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Elle s'exprime en Newtons (N).
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Le mouvement est variation de la position d'un point, d'un solide d'un système, étudié dans un référentiel donné, en fonction du temps.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Un référentiel (ou repère) est un système de coordonnées de l'espace-temps lié à un observateur, composé de trois coordonnées d'espace et d'une coordonnée de temps, utilisé pour définir les notions de position, de vitesse et d'accélération.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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La trajectoire est la courbe décrite par un point d'un corps lors de ses positions successives au cours du temps.
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\end{definition}
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\vspace{0.4cm}
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\section{Caractéristiques d'une force}
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Les forces sont schématisées par des flèches appelées vecteurs. Ce mode de représentation permet de stocker dans un dessins très simple les quatre caractéristiques de l'action d'une force :
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\begin{itemize}
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\item point d'application : endroit où la force agit.
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\item droite d'action : droite suivant laquelle va s'exercer la force.
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\item sens : positif ou négatif suivant si elle agit dans le sens ou contre le mouvement.
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\item intensité : grandeur de la force.\bigskip
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\end{itemize}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[scale=0.3]{../Img/definition_force.png}
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\end{figure}
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Le symbole $\vec{F}$ utilisé pour désigner une force rappelle le caractère vectoriel de cette grandeur physique.\bigskip
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En biomécanique, nous distinguerons :
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\begin{itemize}
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\item les \textbf{forces internes} : qui sont des actions musculaires sur les leviers osseux,
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\item les \textbf{forces externes} : qui sont des contraintes liant le corps à l'environnement (gravitation, frottements, réactions, actions d'autrui, \ldots).
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\end{itemize}
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\vspace{0.4cm}
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\section{Composition d'une force}
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Si un corps est soumis à plusieurs forces $\vec{F_1}, \vec{F_2}, …, \vec{F_n}$ en même temps, l’effet résultant est le même que si on n’avait qu’une seule force $\sum \vec{F}$, appelée \textit{résultante}.\medskip
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\begin{definition}
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On appelle (force) résultante la force correspondant à la somme vectorielle de tous les vecteurs forces qui s’appliquent à un corps.
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\[\sum \vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \ldots + \vec{F_n}\]
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\end{definition}
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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Pour trouver la résultante $\sum\vec{F}$ de deux forces $\color{blue}\vec{F_1}$ et $\color{green}\vec{F_2}$, il faut translater les vecteurs tel que l’origine du second vecteur soit placée à l’extrémité du premier (ou inversement). En reliant l’origine du premier vecteur à l’extrémité du second vecteur, nous obtenons la résultante.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[t]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.6]{../Img/composition_de_force.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\vspace{0.5cm}
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La résultante $\color{red}\vec{F_3}$ de deux forces, $\color{blue}\vec{F_1}$ et $\color{green}\vec{F_2}$, est donc la diagonale du parallélogramme dont ces deux forces constituent deux côtés consécutifs.
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\vspace{0.5cm}
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\[\color{red}\vec{F_3} \color{black}= \color{blue}\vec{F_1} \color{black}+ \color{green}\vec{F_2}\]
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[t]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.6]{../Img/Parallelogramme_des_forces.png}
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\end{minipage}
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En biomécanique, le plus souvent, son point d'application est ramené au \textit{centre de gravité} du corps.
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\section{Décomposition d'une force}
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.70]{../Img/decomposition_force.png}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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A l'inverse, une force $\color{red}\vec{F}$ peut être décomposée en deux forces composantes $\color{blue}\vec{F_y}$ et $\color{green}\vec{F_x}$, pour lesquelles les directions verticale $\color{blue}y$ et horizontale $\color{green}x$ sont souvent choisies avec :
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\begin{itemize}
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\item[] $\color{blue}\vec{F_y} \color{black}= \color{red}\vec{F} \color{black}\times \sin \color{orange}\beta$
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\item[] $\color{green}\vec{F_x} \color{black}= \color{red}\vec{F} \color{black}\times \cos \color{orange}\beta$
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\newpage
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\begin{morebox}
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\subsection*{Multiplication de force}
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\begin{definition}
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le produit vectoriel, noté $\wedge$, de deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ non colinéaires se définit comme l'unique vecteur $\vec{c}$ tel que :
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\begin{itemize}
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\item le vecteur $\vec{c}$ est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
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\item $||\vec{c}|| = ||\vec{a}|| ~ ||\vec{b}|| ~ |sin (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})|$
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\item la base $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ est de sens direct,
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\end{itemize}
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et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul par définition.
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\end{definition}
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% \subsubsection*{Simplification}
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% Comme nous travaillons dans un espace à trois dimensions $(a, b, c)$ dans lequel chaque axe est \underline{orthogonal} aux deux autres et que les forces peuvent être décomposées dans ces trois dimensions, $|sin (\widehat{\vec{a}, \vec{b}})|$ vaudra souvent soit $1$ soit $-1$.
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\subsubsection*{Sens direct}
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La multiplication de deux nombres $x$ et $y$ est symétrique.
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Cela signifique que :
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\[x \times y = y \times x\]
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Pour la multiplication de vecteur ce n'est pas le cas : multiplier $\vec{a}$ par $\vec{b}$ n'équivaut pas à multiplier $\vec{b}$ par $\vec{a}$
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\[\vec{a} \wedge \vec{b} \neq \vec{b} \wedge \vec{a}\]
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Le \underline{sens direct} de l'espace correspond au mouvement d'une vis.\medskip
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\begin{minipage}[c]{.54\linewidth}
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Prenons le dessin de droite comme exemple.\medskip
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A l'aplomb du plan formé par $\vec{a}$ et $\vec{b}$, si pour aller de $\vec{a}$ à $\vec{b}$ nous tournons dans le sens \underline{inverse} des aiguille d'une montre (nous dévissons) $\vec{c}$~sort (monte/se retire) du plan $ab$ par le haut.\medskip
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Par contre si nous multiplions $\vec{b}$ par $\vec{a}$ (c-à-d. nous allons de $\vec{b}$ vers $\vec{a}$), nous tournons dans le sens des aiguilles d'une montre, le résultat ($-\vec{c}$) s'enfonce (descend) dans le plan $ab$.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.44\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/multiplication_vectorielle.png}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.6]{../Img/sens_multiplication_vect.png}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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Comment être sûr de bien orienter $\vec{c}$ ?\medskip
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Considérons une main \underline{droite}. Si $\vec{a}$ est l'index et $\vec{b}$ le majeur, la multiplication de $\vec{a}$ par $\vec{b}$ ($\vec{a} \wedge \vec{b}$) en \underline{base directe} sera $\vec{c}$ qui lui aura la direction du pouce.
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\end{minipage}
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\end{morebox}
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\newpage
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\section{Moment d'une force}
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\vspace{-0.2cm}
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% Représenter le moment d'une force, schématiquement
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\begin{definition}
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Le moment d'une force par rapport à un point est l'aptitude de cette force à faire tourner un système mécanique autour de ce point, souvent appelé pivot.
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\end{definition}
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\vspace{-0.2cm}
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\[\mybox{M = \vec{F} \wedge \vec{d} = ||\vec{F}|| \times ||d|| \times \sin \beta}\]
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Où :
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\begin{itemize}
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\item $M$ : moment de force
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\item $\vec{F}$ : force ($||\vec{F}||$ : intensité de la force)
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\item $d$ : bras de levier de la force ($||d||$ : longueur du bras de levier)
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\item $\beta$ : angle entre le bras de levier et la force\par
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\end{itemize}
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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Il est donc possible d'augmenter le moment d'une force en jouant sur l'angle entre le bras de levier et la force ou en augmentant soit l'intensité de la force, soit le bras de levier.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/moment_force.png}
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\end{minipage}
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\vspace{0.3cm}
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/moment_de_force.png}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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Donc lorsque l'angle $\beta$ vaut $0\degree$ ou $180\degree$, le moment de force est nul. Quand il vaut $90\degree$ ou $270\degree$ le moment de force est maximal. C'est constatable intuitivement : si on tire ou qu'on pousse sur une porte dans la direction de sa largeur, elle ne va pas tourner.
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\end{minipage}
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\newpage
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\begin{morebox}
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\subsubsection*{Les leviers}
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Les leviers sont traditionnellement séparés en trois classes suivant la position du point d'appui et des forces :
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\begin{itemize}
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\item levier inter-appui,
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\item levier inter-résistant et
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\item levier inter-moteur.
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\end{itemize}
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\vspace{1cm}
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\textbf{\underline{Levier inter-appui}}\par
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\vspace{0.1cm}
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\begin{minipage}[t]{.29\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.4]{../Img/levier_inter_appui.png}
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.69\linewidth}
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Le point d'appui est situé entre les deux forces.\medskip
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Exemples : le muscle triceps brachial du bras, un frein à main de vélo, un pied-de-biche (côté incurvé), un arrache-clou, une pince-tenaille, des ciseaux, un diable, un mors, un trébuchet, une balance.\medskip
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\end{minipage}
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\vspace{1cm}
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\textbf{\underline{levier inter-résistant}}\par
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\vspace{0.2cm}
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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La résistance est située entre l’articulation et le point d’application de la force.
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Moins fréquent dans l’organisme, il est souvent impliqué dans des mouvements précis et de faible amplitude.
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Le muscle développant la force possède une insertion sur le levier fixe, proche de l’articulation, et une insertion sur le levier mobilisé très éloigné de l’articulation.\medskip
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Exemples : une porte, un casse-noix, un tremplin de plongeon, une brouette, une clef, un dé-capsuleur, un pied-de-biche (côté droit), \ldots
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/levier_inter_resistant.png}
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\end{minipage}
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\vspace{1cm}
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\textbf{\underline{levier inter-moteur}}\par % inter-puissant
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\vspace{0.2cm}
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/levier_inter_moteur.png}
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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le point d’application de la force musculaire est situé entre l’articulation et la résistance.
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Le point d’application de la force $F$ correspond au point d’insertion du muscle sur le levier mobile.\medskip
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Dans l’exemple de la course, les muscles postérieurs de la cuisse agissent sur la jambe.
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le mouvement de la jambe sur la cuisse mobilise l’articulation du genou.
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Un tel levier permet donc à un muscle d’engendrer un déplacement rapide des extrémités du membre, pour un petit raccourcissement.
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\end{minipage}
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\medskip
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Par contre cet avantage dynamique nécessite en contre partie une forte action musculaire $F$, pour une faible résistance $R$, parce que $d_1$ est bien inférieur a $d_2$.\medskip
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Exemples : le muscle biceps brachial, une batte de baseball, une fronde, une pagaie, un balai, une canne à pêche, une crosse de hockey, brucelles et pince à chiqueter, un coupe-ongles, un piège à souris, une pelle, une agrafeuse, une houe, une faux.\medskip
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\end{morebox}
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\newpage
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\section{Corps}
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\subsection{Masse d'un corps}
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\vspace{-0.6cm}
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\begin{definition}
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La masse (notée $m$ et exprimée en kg) d'un corps mesure la quantité de matière constituant ce corps, c'est à dire la masse des particules qui constituent ce corps.
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\end{definition}
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Cette quantité de matière est invariable quel que soit l'endroit où se trouve l'objet dans l'Univers, et quelles que soient les forces qui s'exercent sur lui.
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\subsection{Poids d'un corps}
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\vspace{-0.6cm}
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\begin{definition}
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Force d'attraction qu'exerce un astre sur un corps massique.
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\end{definition}
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Sur terre, le poids se calcule par la formule suivante :
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\[\mybox{P = m \times g}\]
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Où :
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\begin{itemize}
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\item $P$ : poids du corps (en $N$)
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\item $m$ : masse du corps (en $kg$)
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\item $g$ : constante de pesanteur (à la surface de la Terre : $9,81\ m/s^2$)\par
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\end{itemize}
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La pesanteur terrestre est une accélération verticale, dirigée vers le bas, qui s'applique sur tous les corps possédant une masse et situés au voisinage de la Terre.
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\subsection{Corps isolé}
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\vspace{-0.6cm}
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\begin{definition}
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Un corps isolé est un corps sur lequel ne s'exerce aucune force.
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\end{definition}
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\medskip
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\subsection{Corps pseudo-isolé}
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\vspace{-0.6cm}
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\begin{definition}
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Un corps isolé est un corps sur lequel la résultante des forces s'exerçant sur lui est nulle
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\end{definition}
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\bigskip
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\section{Centre de gravité}
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\vspace{-0.4cm}
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\begin{definition}
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Le centre de gravité ($CG$) est le point théorique d'application de la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les parties du corps.
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\end{definition}
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\medskip
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Le corps humain est de densité non uniforme et de forme irrégulière : pour une personne en station debout, le centre de gravité se situe approximativement en avant de la troisième vertèbre lombaire (en direction du nombril).
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Ce point n'est jamais fixe, il varie en fonction de la position du corps.
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C'est un point virtuel qui n'a donc pas d'existence physique réelle.\medskip
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\newpage
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\begin{figure}[ht!]
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\centering
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/centreGravite.png}
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\end{figure}
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% Rajouter quelques images de centre de gravité !
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En gymnastique, comme dans la vie courante, le corps humain peut adopter différentes postures (debout, assis, groupé, carpé, tendu, \ldots).
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Le $CG$ se déplace suivant la position des différentes parties du corps car les masses se répartissent différemment.
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||
Il peut même arriver qu'il se situe en dehors du corps.\par
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\section{Axes et plans}
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Pour décrire les mouvements du corps humain, trois plans imaginaires orientés perpendiculairement les uns aux autres sont utilisés :\bigskip
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\begin{minipage}[c]{.30\linewidth}
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•\ Frontal\par
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\vspace{2cm}
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•\ \textbf{Sagittal}\par
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\vspace{2cm}
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•\ \textbf{Transversal}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.68\linewidth}
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\centering
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% \includegraphics[scale=0.29]{../Img/plans.png}
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\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/plans.png}
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\end{minipage}
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\vspace{0.5cm}
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Lorsque l'on observe le corps humain de face ou de profil, sa forme peut être projetée sur une surface plane que l'on appelle un plan.
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Ce sont les plans anatomiques du corps humain :
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\begin{itemize}
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\item plan frontal : vue de face, divise le corps humain en deux parties, antérieure et postérieure
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||
\item plan sagittal : vue de profil, partage le corps en deux parties, droite et gauche
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\item plan transversal : vue de haut, divise la partie supérieure et inférieure du corps)\bigskip
|
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\end{itemize}
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||
\newpage
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||
Il est également possible d'utiliser trois axes pour décrire les mouvements du corps.
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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||
•\ \textbf{Longitudinal}\par
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\vspace{1.5cm}
|
||
•\ \textbf{Sagittal}\par
|
||
\vspace{1.5cm}
|
||
•\ \textbf{Transversal}
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
|
||
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=\linewidth]{../Img/axes_rotation.png}
|
||
\end{minipage}
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||
|
||
Ils correspondent aux plans anatomiques du corps humain :
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\begin{itemize}
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||
\item L'axe longitudinal passe par la tête et les pieds (vrille – pirouette)
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||
\item L'axe sagittal passe par le ventre et le dos (roue – japonais)
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||
\item L'axe transversal passe par les hanches (rotation avant – arrière)\bigskip
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||
\end{itemize}
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||
Autour de ces axes, les rotations sont :\par
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||
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\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
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\vspace{1cm}
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||
A : \textbf{Longitudinales}\par
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\vspace{3.5cm}
|
||
B : \textbf{Sagittales}\par
|
||
\vspace{3.5cm}
|
||
C : \textbf{Transversales}
|
||
\end{minipage}
|
||
\hfill
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||
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
|
||
\centering
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||
\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_longitudinale.png}
|
||
\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_costale.png}
|
||
\includegraphics[scale=0.5]{../Img/exemple_rotation_transversale.png}
|
||
\end{minipage}
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||
|
||
\newpage
|
||
|
||
\section{Lois de Newton}
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||
\subsection{\texorpdfstring{$1^{ere}$}~ loi de Newton : Principe d'inertie}
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\vspace{-0.4cm}
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\begin{definition}
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||
Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
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\end{definition}
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\vspace{0.2cm}
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||
Donc, pour un corps isolé ou corps pseudo-isolé, l'accélération est nulle (i.e. la direction et sa vitesse est constante).
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||
L'inertie peut donc être vue comme la tendance d'un corps à résister à une modification de son état de repos ou de mouvement \underline{rectiligne} uniforme (MRU).
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||
La masse (intertielle) $m$ d'un corps est la mesure de son inertie de translation (i.e. de sa résistance à une accélération en ligne droite).
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|
||
% \subsubsection*{Corollaire : Inertie}
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% Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer son état de mouvement de translation.
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||
% En rotation, c'est le moment d'inertie $I$ d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe (accélération angulaire).
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||
|
||
\subsubsection*{Corollaire : Moment d'inertie}
|
||
Pour la \textit{résistance} à une accélération angulaire, nous parlons de moment d'inertie.
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||
Le moment d'inertie caractérise également la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein.
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||
C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire.
|
||
|
||
\begin{definition}
|
||
Le moment d'inertie d'un corps quantifie la résistance de ce corps à une accélération angulaire (à sa mise en rotation).
|
||
\end{definition}
|
||
|
||
L'inertie peut être formulée telle que :
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||
|
||
\[\mybox{J = m \times r^{2}}\]
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Où :
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\begin{itemize}
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\item $m$ : masse ($kg$)
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\item $r$ : distance par rapport à l'axe de rotation ($m$)\bigskip
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\end{itemize}
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Nous utiliserons le moment d'inertie dans le syllabus de biomécanique (dans les chapitres sur les \textit{rotations transversales} le \textit{controle de rotations}).
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\subsection{\texorpdfstring{$2^{eme}$}~ loi de Newton : Principe fondamental de la dynamique}
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\vspace{-0.4cm}
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\begin{definition}
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L'accélération subie par un corps (dans un référentiel galiléen) est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse $m$.
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\end{definition}
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La deuxième loi de Newton peut être exprimé par l'équation :
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\[\mybox{F = m \times a}\]
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Où :
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\begin{itemize}
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\item $F$ : intensité de la force ($N$)
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\item $m$ : masse du corps ($kg$)
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\item $a$ : accélération du corps ($m/s^2$)\par
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\end{itemize}
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\newpage
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\subsection{\texorpdfstring{$3^{eme}$}s~ loi de Newton : Principe d'action-réaction}
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\vspace{-0.4cm}
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\begin{definition}
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L'action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.
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\end{definition}
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\vspace{0.2cm}
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En d'autres termes, lorsqu'un corps exerce une force sur un autre, le second exerce lui aussi une force égale en grandeur et de même direction, mais de sens opposé sur le premier.
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Plus simplement, chaque action déclenche une réaction égale et de sens opposé : pour chaque action $F$, il existe une réaction $R$.\par
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Exemples :\par
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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Rebond d'un ballon\par
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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ATR rebond\par
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.5]{../Img/rebondBallon.png}\par
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.4]{../Img/rebondATR.png}\par
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\end{minipage}
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Cette loi est également connue sous le nom de la \textit{loi des actions réciproques}.
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Nous en reparlerons dans le chapitre relatif à \textit{la dynamique} dans le syllabus de biomécanique.
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\newpage
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\begin{knowledgebox}
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\begin{itemize}
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\item la masse
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\item le poids
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\item le centre de gravité
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\item une force
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\item le moment d'une force
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\item les 3 plans
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\item les 3 axes
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\item les 3 rotations
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\item les 3 lois de Newton
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\end{itemize}
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\end{knowledgebox}
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\begin{skillsbox}
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\begin{itemize}
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\item calculer un poids
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\item décomposer une force
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\item additionner des forces
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\item calculer un moment de force
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\end{itemize}
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\end{skillsbox}
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% Le moment d'inertie est une grandeur physique qui caractérise la géométrie des masses d'un solide, c'est-à-dire la répartition de la matière en son sein.
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% Il quantifie également la résistance à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une accélération angulaire), et a pour dimension M·L² (le produit d'une masse et du carré d'une longueur, qui s'exprime en kg·m² dans le S.I.).
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% C'est l'analogue pour un solide de la masse inertielle qui, elle, mesure la résistance d'un corps soumis à une accélération linéaire. |