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\chapter{La statique\label{chap_static}}
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\section{Polygone de sustentation}
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\begin{definition}
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Le \textit{polygone de sustentation} ou \textit{surface de sustentation} est la plus petite enveloppe \textbf{convexe} contenant tous les points de contact entre le corps et le support
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Un polyèdre convexe est un polyèdre tel que tout segment joignant deux de ses points est situé tout entier dans celui-ci.
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\end{definition}
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\begin{minipage}[l]{.55\linewidth}
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En d'autre termes, le polygone de sustentation est le plus petit polygone convexe reliant l’ensemble des points par lesquels un corps repose sur une surface.\bigskip
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\par
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Comme nous le verrons plus tard, la stabilité d'un corps varie en fonction de la position du centre de gravité par rapport à ce polygone.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[]{.35\linewidth}
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\includegraphics[scale=0.4]{../Img/sustentation.png}
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\end{minipage}
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\section{L'équilibre}
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\begin{definition}
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Un corps est en équilibre statique quand les effets des forces qui agissent sur lui se neutralisent.
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\end{definition}
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La notion d'\textit{équilibre} implique souvent une notion de repos (aucun mouvement).
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C'est d'autant plus le cas ici, en \textit{équilibre statique}.\bigskip
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La définition de l'équilibre statique implique donc que la résultante des forces qui s'exercent sur le corps soit nulle mais aussi que les moments de forces soient nuls.
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Mis en formule, cela donne :
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\[\mybox{\sum_i \vec{F}_i = 0 ~et~ \sum_i \overrightarrow{\mathcal{L}(\vec{F}_i)} = 0}\]
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\begin{minipage}[c]{.55\linewidth}
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Pour être en position d'équilibre, il faut que la projection du centre de gravité soit dans le polygone de sustentation.\par
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\vspace{1cm}
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\begin{itemize}
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\item $\vec{P}$ : poids du corps\par
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\vspace{0.5cm}
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\item $\vec{R}$ : réaction du sol
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[c]{.35\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=2.5]{../Img/equilibre.png}
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\end{minipage}
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\section{Stabilité d'un corps}
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\begin{definition}
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La stabilité d’un corps représente sa capacité à maintenir son état d’équilibre.
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\end{definition}
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Plus un corps est stable, plus il offrira de \textit{résistance} à une perturbation de son état d’équilibre : un équilibre est dit stable si, à la suite d'une perturbation qui a éloigné le système de sa position d'équilibre, celui-ci y retourne spontanément.
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Dans le cas contraire l'équilibre est dit instable.
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\subsection{Facteurs de stabilité}
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La stabilité d'un corps en équilibre est dépendante de deux facteurs principaux :
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\begin{itemize}
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\item le polygone de sustentation (surface, forme, \ldots) et
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\item le centre de gravité (dépendant de la masse du corps : valeur, répartition, \ldots).\medskip
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% \item La masse du sujet influe aussi sur l'équilibre
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% \item La position de la ligne d'action de la gravité (projection du centre de gravité) par rapport à la surface de sustentation (plus la ligne d'action s'approche du bord de la base d'appui, plus l'équilibre devient instable).
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\end{itemize}
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||
C'est le rapport de ces deux facteurs l'un par rapport à l'autre qui déterminera le type de stabilité : la stabilité est proportionnelle au polygone de sustentation et inversement proportionnelle à la hauteur du centre de gravité.\bigskip
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% \vspace{1.5cm}
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\begin{minipage}[t]{.39\linewidth}
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\centering
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Equilibre stable\par
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\includegraphics[scale=0.4]{../Img/equilibrestable.png}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[t]{.59\linewidth}
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\centering
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Equilibre de plus en plus instable\par
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\includegraphics[scale=2]{../Img/equilibre_instable.png}
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\end{minipage}
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Un équilibre en suspension est plus stable qu’un équilibre au-dessus de ses appuis.
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Un corps restera plus facilement en équilibre s’il présente la forme d’un pendule (suspendu) que s’il présente la forme d’un cône inversé en appui sur sa pointe.\medskip
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Plus la projection du centre de gravité est proche du centre du polygone de sustentation, plus l'équilibre est stable.
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% : le corps est en suspension.
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Cela signifie que le corps reviendra à sa position initiale s'il est (modérément) perturbé.\medskip
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\begin{minipage}[l]{.49\linewidth}
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\begin{itemize}
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\item {\color{green}Equilibre stable}
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\vspace{1cm}
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\item {\color{orange}Equilibre instable}
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\vspace{1cm}
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\item {\color{red}Déséquilibre}
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}[]{.49\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.35]{../Img/stabilite.png}
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\end{minipage}
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A l'opposé, plus le centre de gravité est proche de la limite (le bord) du polygone de sustentation, plus l'équilibre est instable : le corps a d'autant plus de risque de quitter sa position initiale s'il est perturbé que le centre de gravité est proche de la limite.\medskip
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Si la projection du centre de gravité est en dehors de la surface de sustentation, le corps est en déséquilibre et le mouvement (chute) est inévitable.
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\newpage
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\begin{knowledgebox}
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\begin{itemize}
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\item polygone de sustentation
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\item équilibre
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\item stabilité
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\item facteurs de stabilité
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\end{itemize}
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\end{knowledgebox}
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\begin{skillsbox}
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\begin{itemize}
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\item estimer l'équilibre d'un corps
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\item estimer la stabilité d'un corps
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\end{itemize}
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\end{skillsbox}
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\newpage
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\section{Pratique}
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\subsection*{Question 1}
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Comment se nomme la surface d’équilibre sur lequel le gymnaste se trouve ?
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\begin{itemize}
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\item La surface d'équilibre.
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\item Le polygone de sustentation.
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\item La surface de tension.
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\item Le pentagone de surtension.
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\end{itemize}
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\subsection*{Question 2}
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Le polygone de sustentation est :
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\begin{enumerate}
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\item La plus grande enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
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\item La plus petite enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
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||
\item La plus petite enveloppe concave contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
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||
\item La plus grande enveloppe concave contenant tous les points de contact entre le corps et le support.
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\end{enumerate}
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\subsection*{Question 3}
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Dessinez les polygones de sustentation des positions suivantes :\par
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\begin{minipage}[b]{.25\linewidth}
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\centering
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\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_2_without.png}\par
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\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
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||
\centering
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||
\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_1_without.png}\par
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||
\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
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||
\centering
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||
\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_3_without.png}\par
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||
\end{minipage} \hfill
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||
\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
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||
\centering
|
||
\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_0_without.png}\par
|
||
\end{minipage} \hfill
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||
\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[scale=0.3]{../Img/sustentation_4_without.png}\par
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||
\end{minipage}
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||
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||
\begin{minipage}[b]{.25\linewidth}
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||
\centering
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||
$a$
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||
\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
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||
\centering
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||
$b$
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||
\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
|
||
\centering
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||
$c$
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||
\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.1\linewidth}
|
||
\centering
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||
$d$
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||
\end{minipage} \hfill
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\begin{minipage}[b]{.2\linewidth}
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||
\centering
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$e$
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||
\end{minipage}
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\subsection*{Question 4}
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Classer les polygones de sustentation de la Question 3 par ordre de stabilité relative croissante :
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\begin{enumerate}
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\item $a - b - e - c - d$
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\item $e - d - c - a - b$
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\item $c - d - b - e - a$
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||
\item $d - b - a - c - e$
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\end{enumerate}
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\subsection*{Question 5}
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D'après la définition, un cors est en équilibre statique quand\ldots
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\begin{enumerate}
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\item Les forces et moments de forces qui agissent sur lui se neutralisent.
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\item Il n'y a pas de force qui agissent sur lui.
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||
\item Sa masse est nulle.
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\item Il ne subit aucune accélération ou impulsion.
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||
\end{enumerate}
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\subsection*{Question 6}
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\vspace{-0.2cm}
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||
D'après les définitions d'équilibre statique et de corps isolé, une corps isolé est-il en équilibre ?
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\begin{enumerate}
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||
\item Oui
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||
\item Non
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||
\end{enumerate}
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\subsection*{Question 7}
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\vspace{-0.2cm}
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||
D'après les définitions d'équilibre statique et de corps pseudo-isolé, une corps pseudo-isolé est-il en équilibre ?
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Oui
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||
\item Non
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||
\end{enumerate}
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\subsection*{Question 8}
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Qu'est ce que la stabilité d'un corps ?
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\begin{enumerate}
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\item Sa capacité à résister à un déplacement.
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\item Sa capacité à maintenir son état d'équilibre. % A REVOIR
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\item Sa capacité à résister à une mise en rotation.
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\item Sa capacité à être immobile.
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\end{enumerate}
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\subsection*{Question 9}
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La stabilité d'un corps dépend de deux facteurs. Lesquels ?
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\begin{enumerate}
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\item La surface de contact et l'intensité des forces appliquées.
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\item La surface de sustentation et l'angle par rapport à l'horizontal.
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\item Le polygone de sustentation et le centre de gravité.
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\item Le centre de gravité et la résultante des forces appliquées.
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\end{enumerate}
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\subsection*{Question 10}
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Quels sont les types de dépendance de ces deux facteurs ci-dessous pour la stabilité ?
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\begin{enumerate}
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\item Proportionnelle au polygone de sustentation et proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
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\item Proportionnelle au polygone de sustentation et inversément proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
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\item Inversément proportionnelle au polygone de sustentation et proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
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||
\item Inversément proportionnelle au polygone de sustentation et inversément proportionnelle à la hauteur de centre de gravité.
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||
\end{enumerate}
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\subsection*{Question 11}
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||
A partir de quand il y a-t-il un déséquilibre ?
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\begin{enumerate}
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\item A partir du moment où la projection du centre de gravité est sur une arête du polygone de sustentation.
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\item Tant que la projection du centre de gravité est proche du "centre" du polygone de sustentation.
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\item Une fois que la projection du centre de gravité sort du polygone de sustentation.
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\item Dès que le corps est soumis à une force extérieure.
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\end{enumerate} |