\chapter{Contrôle de rotations\label{chap_controle_rotation}}
Lorsqu'un corps est en rotation libre, la trajectoire ne peut pas être modifiée et le moment cinétique reste constant.

\section{Rotations transversales}
Il est cependant possible de changer la vitesse de rotation par modification du moment d'inertie, en positionnant différemment les segments du corps par rapport à l'axe de rotation.
Ceci concerne aussi bien les rotations transversales que longitudinales.\bigskip

\subsection*{Moment d'inertie}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
    Le moment d'inertie d'un corps quantifie la résistance de ce corps à une accélération angulaire (à sa mise en rotation).
    % à une mise en rotation de ce solide (ou plus généralement à une accélération angulaire), et a pour dimension M·L² (le produit d'une masse et du carré d'une longueur, qui s'exprime en kg·m² dans le S.I.).
\end{definition}

\[\mybox{J = m \times r^{2}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $m$ : masse (kg)
    \item $r$ : distance par rapport à l'axe de rotation (m)\bigskip
\end{itemize}

La masse du corps étant invariable, il n'est possible que de jouer sur la distance.
Si la distance est petite, par exemple dans un salto en position groupée, la vitesse de rotation est importante.
Lors d'un salto arrière tendu, si le gymnaste groupe, son moment d'inertie diminuera.
Le moment d'inertie lors d'une rotation transversale pour une personne de corpulence moyenne ($\sim$ 80 kg) est de :
\begin{itemize}
    \item corps tendu (bras en haut) : $J \simeq$ 20 kg.m$^2$ (19,8 kg.m$^2$)
    \item corps tendu (bras en bas) : $J \simeq$ 14 kg.m$^2$ (14,143 kg.m$^2$)
    \item corps en position puck : $J \simeq$ 8.3 kg.m$^2$ (8,333 kg.m$^2$)
    \item corps carpé : $J \simeq$ 6 kg.m$^2$ (5,9 kg.m$^2$)
    \item corps groupé (russe) : $J \simeq$ 4 kg.m$^2$ (3,9 kg.m$^2$)
\end{itemize}
Le moment d'inertie du corps en rotation longitudinale est d'environ 1 kg.m$^2$ (1,1 kg.m$^2$).\medskip

\subsection{Moment cinétique\label{moment_cinetique_formule}}
Le moment cinétique dépendant du moment d'inertie : quand ce dernier varie cela impacte le moment cinétique.
% Pour les rotations, on parle de \textit{moment cinétique} ou \textit{moment angulaire}.

\[\mybox{{\mathcal{M}}_c = J \times \omega}\]


Où :
\begin{itemize}
    \item ${\mathcal{M}}_c$ : Moment cinétique (ou angulaire)
    \item $J$ : Moment d'inertie
    \item $\omega$ : vitesse angulaire\bigskip
\end{itemize}

Or, comme nous l'avons vu, \underline{le moment cinétique d'un corps isolé ou pseudo-isolé reste constant}.
Cela a comme conséquence que seule la vitesse angulaire peut varier lorsque le moment d'inertie change.
Reprenons l'exemple du gymnaste réalisant un salto arrière : lors d'un salto arrière tendu, si le gymnaste groupe, la diminution du moment d'inertie provoquera donc une accélération de la rotation.\bigskip

\newpage
Une variation de position provoquera donc un changement dans la vitesse de rotation.
Prenons un exemple fictif pour fixer les idées.
Pour une vitesse angulaire de 1 en position tendue, bras tendus aux oreilles, le gymnaste aura une vitesse angulaire de :
\begin{itemize}
    \item corps tendu, bras en bas : $\omega \simeq 1,4$
    \item corps en position puck : $\omega \simeq 2,4$
    \item corps carpé : $\omega \simeq 3,3$
    \item corps groupé : $\omega \simeq 4,5$
    \item corps groupé (russe) : $\omega \simeq 5$
    \item corps tendu, couché horizontalement, en vrille : $\omega \simeq 20$
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{../Img/vitesse_angulaire_alpha.png}
    % \caption{Variation de la vitesse angulaire en fonction de la position.}
\end{figure}

Lors des rotations longitudinales, la vitesse de rotation est d'autant plus grande que le corps est en position allongée et les bras le long du corps.
En position cambrée ou cassée le moment d'inertie est multiplié par 2, voire par 4, et la vitesse de rotation est donc divisée par autant.\bigskip

\bigskip
Voici un tableau récapitulatif comparant la variation de moment d'inertie par rapport à la variation de vitesse angulaire, en partant d'un moment d'inertie de $20~kg.m^2$ et un vitesse angulaire (rotation transversale) de $1$ :
\begin{table}[h!]
    \centering
    \begin{tabular}{ l | c | c}
        Positions & $J$ (en $kg.m^2$) & $\omega$\\
        \hline
        tendu (bras en haut)        &   $\sim$ 20  &   $\sim$ 1\\
        tendu (bras en bas)         &   $\sim$ 14  &   $\sim$ 1,4\\
        puck                        &   $\sim$ 8,3 &   $\sim$ 2,4\\
        carpé                       &   $\sim$ 6   &   $\sim$ 3,3\\
        groupé                      &   $\sim$ 4,5 &   $\sim$ 4,5\\
        groupé (russe)              &   $\sim$ 4   &   $\sim$ 5\\
        vrille cambrée (horizontal) &   $\sim$ 2   &   $\sim$ 10\\
        vrille (horizontal)         &   $\sim$ 1   &   $\sim$ 20\\
    \end{tabular}
\end{table}

\section{Rotations longitudinales}
Bien qu'il y ait quelques informations sur les vrilles dans le tableau ci-dessus, il est préférable dans un premier temps de continuer à voir les rotations transversale et longitudinale séparément.
Excluons immédiatement la vrille \og Hula Hoop \fg car inefficace.\medskip

Pour la vrille de chat, la vrille n'a lieu tant que les mouvements de chats sont exécutés, le contrôle et l'arrêt de cette vrille sont simples : la vitesse de la vrille est proportionnelle à la vitesse d'exécution des mouvements de chat et la vrille s'arrête quand les mouvements s'arrêtent.\medskip

Concernant la vrille de contact, il n'y a qu'un seul moyen de l'arrêter : le contact.
Concernant la vitesse, de manière analogue aux rotations transversalles, elle dépend de la vitesse de départ et de la position du corps (bras tendu horizontallement ou bras colés le long du corps).\medskip

\subsection{Vrille gyroscopique}
Concernant la vrille gyroscopique, c'est une autre histoire.
Contrairement à la vrille créée par moment d'inertie relatif, cette vrille-ci ne s'arrête pas une fois le mouvement terminé : le bras a été amené contre le corps et ce dernier s'est alors incliné.
Cette inclinaison cesse alors et le corps reste dans la nouvelle position acquise.
Le gymnaste continuera donc d'exécuter une combinaison de saltos vrillés tant qu'il ne rencontrera pas un objet offrant une résitance (danger) ou, pour stopper la vrille, qu'il ne reviendra pas dans le plan transversal.\medskip

\subsubsection*{Contrôle}
La vrille peut être ralentie ou accélérée de la même façon que pour une rotation salto : en augmentant ou un diminuant le moment d'inertie du corps.
Pour les rotations transversales cela se traduit par des phénomènes de fermeture (groupé, carpé, ...) ou d'ouverture (tendu) ; pour les vrilles cela se traduit par un rapprochement ou un écartement des bras (parfois des jambes) ou le fait de casser le corps (passage d'une position tendue à une position carpée).\medskip

\subsubsection*{Arrêt}
Pour revenir à une inclinaison nulle et arrêter une vrille, il ne suffit pas de faire le geste inverse.
Le timing du mouvement a une importance cruciale.
Le gymnaste peut revenir dans le plan si :
\begin{itemize}
    \item il fait l'action opposée (remonter le bras descendu) après un nombre pair de demi-vrilles (\nicefrac{2}{2}, \nicefrac{4}{2}, \nicefrac{6}{2}, ..., $n$ vrilles)
    \item il fait la même action (abaisser le second bras) après une nombre impair de demi-vrilles (\nicefrac{1}{2}, \nicefrac{3}{2}, \nicefrac{5}{2}, ..., \nicefrac{(2n+1)}{2})
\end{itemize}
Le corollaire est aussi vrai : si, après avoir abaissé un bras, l'élève abaisse le second après \nicefrac{1}{4} de rotation, l'inclinaison de son corps s'accroît, il fera donc plus de vrille.\medskip

\vspace{0.3cm}

\begin{morebox}
    Il est également possible de faire "tricher" son élève : au take-off, l'élève abaisse (par devant) un bras puis, pendant qu'il va descendre (sur le côté, cette fois) le bras resté en l'air il va également remonter son premier bras, la réaction (l'inclinaison) sera la somme des deux réactions isolées.
    Et si, par la suite, il rabaisse le bras remonté, une troisième réaction viendra s'ajouter au résultat des deux premières.
\end{morebox}

\vspace{0.3cm}

\begin{morebox}
    \raggedright
    Toujours en partant d'un moment d'inertie de $20~kg.m^2$ et un vitesse angulaire (rotation transversale) initiale de $1$ pour une salto tendu, bras au dessus, voici la correspondance entre l'angle d'inclinaison exprimée en degrés et la quantité de vrille par salto :\bigskip

    \centering
    \begin{tabular}{ c | c }
        $\measuredangle$ & vrille/salto\\
        \hline
        $3\degree$   &   $\sim$ 1\\
        $6\degree$   &   $\sim$ 2\\
        $9\degree$   &   $\sim$ 3\\
        $11\degree$  &   $\sim$ 4\\
        $13\degree$  &   $\sim$ 4,5\\
        $15\degree$  &   $\sim$ 5\\
        $17\degree$  &   $\sim$ 6\\
        $20\degree$  &   $\sim$ 7\\
    \end{tabular}
\end{morebox}

\newpage

\section{Arrêt de rotation}
Une rotation, qu'elle soit transversale ou longitudinale ne peut être arrêter que par deux moyens :
\begin{itemize}
    \item par le contact avec un object ayant suffisement de résistance que pour arrêter le mouvement (l'agrès ou le sol en général) et
    \item l'inverse de ce qui a initié la rotation.
\end{itemize}

Ces deux moyens peuvent être identiques.\bigskip

Exemple : une rotation longitudinale crée par orientation du point distal sur un saut droit au sol, dans un monde parfait, continuera de tourner tant que le corps ne rentrera pas en contact avec le sol.
Le fait de quitter le sol (en plus de l'orientation du point distal) est ce qui a permit de créer la rotation.
Rentrer en contact avec le sol est donc à la fois un contact avec un object ayant la résistance nécessaire à l'arrêt de la rotation et représente aussi l'inverse de ce qui a permis la création de la rotation.\bigskip

Autre exemple : une vrille gyroscopique durera tant que le corps est désaxé.
Si le corps se remet dans l'axe, la ville cesse.
Tout comme le fait de rentrer en contact avec le sol ou l'agrès l'arrêtera également.

\newpage

\begin{knowledgebox}
    \begin{itemize}
        \item moment d'inertie
        \item moment cinétique
        \item ordre de grandeur des différences de vitesse angulaire
    \end{itemize}
\end{knowledgebox}