\chapter{La statique\label{chap_static}}
\section{Polygone de sustentation}
\begin{definition}
    Le \textit{polygone de sustentation} ou la \textit{surface de sustentation} est la plus petite enveloppe convexe contenant tous les points de contact entre le corps et le support
\end{definition}

\begin{minipage}[l]{.55\linewidth}
    En d'autre termes, le polygone de sustentation est le plus petit polygone convexe reliant l’ensemble des points par lesquels un corps repose sur une surface.\bigskip

    \par

    Comme nous le verrons plus tard, la stabilité d'un corps varie en fonction de la position du centre de gravité par rapport à ce polygone.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{.35\linewidth}
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/sustentation.png}
\end{minipage}

\section{L'équilibre}
\begin{definition}
    Un corps est en équilibre statique quand les effets des forces qui agissent sur lui se neutralisent.
\end{definition}

La notion d'\textit{équilibre} implique souvent une notion de repos (aucun mouvement).
C'est d'autant plus le cas ici, en \textit{équilibre statique}.
La définition de l'équilibre statique implique donc que la résultante des forces qui s'exercent sur le corps soit nulle mais aussi que les moments de forces soient nuls.
Mis en formule, cela donne :
\[\mybox{\sum_i \vec{F}_i = 0 ~et~ \sum_i \overrightarrow{\mathcal{M}(\vec{F}_i)} = 0}\]

\begin{minipage}[c]{.55\linewidth}
    Pour être en position d'équilibre, il faut que la projection du centre de gravité soit dans le polygone de sustentation.\par
    \vspace{1cm}
    \begin{itemize}
        \item $\vec{P}$ : poids du corps\par
        \vspace{0.5cm}
        \item $\vec{R}$ : réaction du sol
    \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.35\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=2.5]{../Img/equilibre.png}
\end{minipage}

\newpage

\section{Stabilité d'un corps}
\begin{definition}
    La stabilité d’un corps représente sa capacité à maintenir son état d’équilibre.
\end{definition}
Plus un corps est stable, plus il offrira de \textit{résistance} à une perturbation de son état d’équilibre : un équilibre est dit stable si, à la suite d'une perturbation qui a éloigné le système de sa position d'équilibre, celui-ci y retourne spontanément.
Dans le cas contraire l'équilibre est dit instable.

\subsection{Facteurs de stabilité}
La stabilité d'un corps en équilibre est dépendante de deux facteurs principaux :
\begin{itemize}
    \item le polygone de sustentation (surface, forme, \ldots) et
    \item le centre de gravité (dépendant de la masse du corps : valeur, répartition, \ldots).\medskip
    % \item La masse du sujet influe aussi sur l'équilibre
    % \item La position de la ligne d'action de la gravité (projection du centre de gravité) par rapport à la surface de sustentation (plus la ligne d'action s'approche du bord de la base d'appui, plus l'équilibre devient instable).
\end{itemize}

C'est le rapport de ces deux facteurs l'un par rapport à l'autre qui déterminera le type de stabilité : la stabilité est proportionnelle au polygone de sustentation et inversement proportionnelle à la hauteur du centre de gravité.\bigskip

% \vspace{1.5cm}

\begin{minipage}[t]{.39\linewidth}
   \centering
   Equilibre stable\par
   \includegraphics[scale=0.4]{../Img/equilibrestable.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.59\linewidth}
    \centering
    Equilibre de plus en plus instable\par
    \includegraphics[scale=2]{../Img/equilibre_instable.png}
\end{minipage}

Un équilibre en suspension est plus stable qu’un équilibre au-dessus de ses appuis.
Un corps restera plus facilement en équilibre s’il présente la forme d’un pendule (suspendu) que s’il présente la forme d’un cône inversé en appui sur sa pointe.\medskip

Plus la projection du centre de gravité est proche du centre du polygone de sustentation, plus l'équilibre est stable.
% : le corps est en suspension.
Cela signifie que le corps reviendra à sa position initiale s'il est (modérément) perturbé.\medskip

\begin{minipage}[l]{.49\linewidth}
    \begin{itemize}
        \item {\color{green}Equilibre stable}
        \vspace{1cm}
        \item {\color{orange}Equilibre instable}
        \vspace{1cm}
        \item {\color{red}Déséquilibre}
    \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.35]{../Img/stabilite.png}
\end{minipage}

A l'opposé, plus le centre de gravité est proche de la limite (le bord) du polygone de sustentation, plus l'équilibre est instable : le corps a d'autant plus de risque de quitter sa position initiale s'il est perturbé que le centre de gravité est proche de la limite.\medskip

Si le centre de gravité est en dehors de la surface de sustentation, le corps est en déséquilibre et le mouvement est inévitable.

\newpage

\begin{knowledgebox}
    \begin{itemize}
        \item polygone de sustentation
        \item équilibre
        \item stabilité
        \item facteurs de stabilité
    \end{itemize}
\end{knowledgebox}

\begin{skillsbox}
    \begin{itemize}
        \item estimer l'équilibre d'un corps
        \item estimer la stabilité d'un corps
    \end{itemize}
\end{skillsbox}