\chapter{Création de rotations longitudinales\label{chap_rotation_longitudinale}}
\vspace{-0.6cm}
\begin{definition}
    Une vrille est la combinaison d'une rotation transversale (avant ou arrière) et d'une rotation longitudinale.
\end{definition}

Par généralisation, le terme \textit{vrille} est souvent utilisé pour désigner toute rotation longitudinale qu'elle soit ou non accompagnée d'une rotation transversale.
C'est sans doute le cas dans ce syllabus, bien que ce ne soit pas volontaire.\medskip

En se référant aux différentes phases d'une acrobatie (envol, aérienne et atterrissage), les vrilles ne peuvent être déclenchées que pendant les deux premières : la phase d'envol ou la phase aérienne.
En phase aérienne, il est possible de distinguer deux types de vrille : celles par \textit{moment d'inertie relatif} et celle par \textit{transfert de moment cinétique}.
En résumé, il existe donc quatre techniques de vrille  :
\begin{itemize}
    \item phase d'envol : vrille de contact (ou vrille par \textit{orientation du point distal} - \og \textit{tork} \fg~en anglais),
    \item phase aérienne
    \begin{itemize}
        \item par moment d'inertie relatif
        \begin{itemize}
            \item vrille \og hula hoop \fg ~et
            \item vrille de chat (\og \textit{cat-twist} \fg~en anglais),
        \end{itemize}
        \item par transfert de moment cinétique : vrille gyroscopique (\og \textit{tilt} \fg~en anglais)
    \end{itemize}
\end{itemize}

Une rotation longitudinale étant avant tout une rotation ces différentes techniques font évidement appel à un couple de force (cf. \ref{sec_couple_forces}).

\section{Vrille de contact}
La vrille de contact se déclenche par le segment distal du point d'appui : un couple de forces directe ou indirecte lors de la phase d'appui sur un agrès initiera la vrille.
La quantité de mouvement de la partie distale est transmise au reste du corps, par gainage, grâce à l'appui qui empêche le reste du corps de tourner dans l'autre sens.\medskip

Exemples :\par
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    \vspace{1cm}
    Orientation des épaules dans une vrille au sol.\par
    \vspace{6cm}
    Orientation du bassin dans une vrille à la barre.\par
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.45]{../Img/vrille_de_contact_1.png}
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_de_contact_2.png}
\end{minipage}

Cette technique permet de "gagner" du temps en l'air mais peut causer des problèmes lors de l'aterrissage, car une vrille déclenchée de la sorte ne peut pas être arrêtée en l'air, elle ne s'arrête que lors de l'aterrissage.
Cela réprésente donc un danger (arrivée en chute avec torsion) pour le corps (surtout des membres inférieurs) du gymnaste et peut mener, suivant les disciplines, à des déductions au niveau du jugement.\medskip

\section{Moment d'inertie relatif}
C'est plus une méthode de réorientation que de vrille à part entière.
Elle provient d'un principe d'action-réaction \underline{\textbf{mais ne crée pas de moment cinétique}}.
Cela ne signifie pas que le gymnaste n'est pas en mouvement (même si ce n'est pas nécessaire) ou n'est pas capable de bouger des parties de son corps, cela signifie que lorsque les mouvements engendrant la vrille s'arrêtent, la vrille s'arrête également contraîrement à la vrille de contact ou la vrille gyroscopique.

\subsection{Vrille \og Hula Hoop \fg}
Si un gymnaste, en l'air, commence à effectuer un mouvement de \og hula hoop \fg (effectue des cercles avec son bassin), son corps va se mettre à tourner sur lui-même.
Si les hanches tournent dans le sens des aiguilles d'une montre, le corps vrillera dans le sens anti-horloger.\medskip

C'est une technique très énergivore et peu efficace, elle est donc peu utilisée en Gymnastique et elle ne sera pas développée ici.

\subsection{Vrille de chat}
Supposons qu'un corps puisse être décomposé en plusieurs (ici, deux) segments.
Si l'un des segments du corps entre en rotation longitudinale dans un sens, en l'absence d'appui, l'autre segment tournera dans l'autre sens car le moment cinétique total (du corps entier) est constant. % et action-réaction
On a donc, pour le corps dans son ensemble :

\[\mybox{\vec{{\mathcal{L}}_c} = \vec{I} \times \omega}\]

\bigskip
Le moment cinétique longitudinal est nul au départ donc :

\[\mybox{\vec{I_1} \omega_1= \vec{I_2} \omega_2}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{I_1} \omega_1$ : $\vec{{\mathcal{L}}_{c1}}$ d'une partie du corps
    \item $\vec{I_2} \omega_2$ : $\vec{{\mathcal{L}}_{c2}}$ de l'autre partie\bigskip
\end{itemize}

Or, deux segments présentent des moments d'inertie $\vec{I_x}$ différents :
\begin{itemize}
    \item $\vec{I_1}$ = $m_1\ d_1^2$
    \item $\vec{I_2}$ = $m_2\ d_2^2$
\end{itemize}
Ils ont donc des vitesses angulaires différentes.\bigskip

La vitesse angulaire $\omega_x$ d'un des segments sera d'autant plus grande que son moment d'inertie $\vec{I_x}$ sera faible.
Si la masse $m_x$ de chaque segment est supposée constante, la seule manière de faire varier le moment d'inertie $\vec{I_x}$ est de faire varier le rayon $d_x$ du segment.\medskip

C'est ce que nous pouvons observer sur le schéma de la chute d'un chat : le chat va faire varier le rayon $d_1$ et $d_2$ de ses différents segments pour pouvoir "\textit{prendre appui}" sur celui qui a le plus grand moment d'inertie afin de pouvoir pivoter l'autre.
A une légère rotation du segment le plus \textit{grand} correspondra une grande rotation du segment \textit{petit}.
Une étude a ainsi montré que pour une rotation de ~180° de la partie supérieure, la réaction de la partie inférieure avoisinait les 5°.\par

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/vrille_chat_2.png}
\end{figure}

En gymnastique cette technique est employée lors de l'ouverture ou de fermeture.
A partir d'une position carpée il est possible de déclencher, sur l'ouverture, une rotation longitudinale par les pieds.
Le moment d'inertie des membres inférieurs étant plus petit que celui du reste du corps, le premier segment (jambes) prend "\textit{appui}" sur le second (corps) pour entrer en rotation.\medskip

Ce principe peut être appliqué à un corps humain, en acrobatie aérienne, pour le déclenchement d'une demi-vrille avec angulation du corps au préalable : déclenchement sur ouverture à partir d'une position carpée, ou sur fermeture à partir d'une position d'extension.\medskip

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyroscopique_moment_angulaire.png}
\end{figure}

\section{Transfert de moment cinétique}
C'est la méthode de vrille actuellement dominante dans toutes les figures acrobatiques aériennes (tumbling, plongeon, trampoline, double mini-trampoline, \ldots).\medskip

Un transfert de moment cinétique suppose donc qu'il y ait un moment cinétique au départ.
Ici, nous sommes dans le cas d'une vrille aérienne.
Le moment cinétique doit venir d'un mouvement de rotation (transversale) enclenché lors de l'impulsion.
En conséquence s'il n'y a pas de rotation transversale, il n'y a pas de possibilité de transfert de moment cinétique.\medskip

Si, au cours d'une rotation transversale, le corps prend une certaine angulation (désaxement) par rapport à sa position initiale, une rotation longitudinale peut être déclenchée par transfert de moment cinétique de la rotation transversale vers le moment cinétique de la rotation longitudinale.\bigskip

\subsection{Création de la vrille}
Une fois une rotation tranversale enclenchée, le gymnaste va déséquilibrer son corps afin que celui-ci ne soit plus parfaitement dans le plan de rotation.
Ce déséquilibre va déclencher une vrille.\medskip

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.55]{../Img/vrille_gyro_alpha.png}
\end{figure}

Prenons le cas d'un salto tendu, départ bras tendus vers le haut.
Si, au cours du salto, le gymnaste abaisse (\textit{action}) son bras droit (ou gauche), son corps se penchera (\textit{réaction}) vers la gauche (respectivement droite)\footnote{$3^{eme}$ loi de Newton}.
Cette réaction entraînera un transfert (décomposition) du moment cinétique initial (salto) à la vrille.\medskip

L'abaissement du bras n'est pas la seule manière de faire.
De manière plus générale, tout déséquilibre du corps aboutit à la même conséquence.\bigskip

\begin{dangerbox}{Important}
    \centering
    \begin{tabular}{ l | c | c}
         & bras \textbf{droit} & bras \textbf{gauche}\\
        \hline
        Avant                   &   vrille à gauche  &   vrille à droite\\
        \textbf{Arrière}        &   vrille à \textbf{droite}  &   vrille à \textbf{gauche}\\
    \end{tabular}

    \bigskip
    \raggedright
    En résumé : en rotation \textbf{avant} le gymnaste abaisse le bras opposé à son sens de vrille (\textbf{"mauvais" bras}), en rotation \textbf{arrière} il abaisse le bras de son sens de vrille (\textbf{"bon" bras}) !
\end{dangerbox}

\vspace{0.3cm}

Lorsque le corps se ré-axera, la rotation longitudinale cessera.
Plus précisément : aucune rotation longitudinale créée par désaxement ne persiste au réaxement.
Cette technique de vrille permet donc un arrêt totale de la vrille avant l'arrivée sur agrès.
%le moment cinétique longitudinal redevient nul, c'est à dire qu'aucune rotation longitudinale ne persiste au réaxement (et donc à l'arrivée au sol ou sur engin).
Sur le plan sécuritaire, cette forme est donc beaucoup plus intéressante.
Elle présente aussi un plus grand intérêt sur le plan de la généralisation des vrilles à tous les agrès à partir d'un travail au trampoline.\bigskip

\newpage

\textbf{\underline{Cas concrêt}}\par
Un gymnaste réalise une vrille (à gauche) lors d'un salto avant tendu.\bigskip

\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    \centering
    \underline{Salto avant tendu}\par
    L'axe de rotation transversale est horizontal.\par
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyro_salto_avant_tendu.png}\par
    Le moment cinétique transversal est parallèle à l'axe de rotation.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.49\linewidth}
    \centering
    \underline{Pirouette verticale}\par
    L'axe de rotation longitudinale est vertical.\par
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyro_salto_avant_tendu_pirouette.png}\par
    Le moment cinétique longitudinal est parallèle à l'axe de rotation.
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}[c]{.69\linewidth}
    Au départ de la figure, le gymnaste initie un salto avant tendu.
    Le (seul) moment cinétique est alors le moment cinétique de la rotation transversale et est parallèle à l'axe de rotation.
    Le moment cinétique de la rotation transversale ($\color{green}\vec{{\mathcal{L}}_{ct}}$) est donc égale au moment cinétique total ($\color{blue}{\vec{\mathcal{L}}_{cT}}$).
    \[\color{blue}{\vec{\mathcal{L}}_{cT}} = \color{green}{\vec{\mathcal{L}}_{ct}}\]

    En cours de figure, le gymnaste désaxe son corps vers la gauche (la gauche du gymnaste), ce qui a pour effet de faire basculer l'axe de rotation transversale également vers la gauche.\medskip

    L'axe de rotation du salto n'est donc plus parallèle à la représentation vectorielle du moment cinétique \underline{total}.\par
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.29\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyro_salto_tendu_desax.png}
\end{minipage}

% \vspace{1cm}

\begin{minipage}[c]{.29\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyro_salto_tendu_desax_decomposition.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.69\linewidth}
    Le moment cinétique transversal prend une direction différente de celle du moment cinétique initial, ils ne sont donc plus égaux.\medskip

    Comme nous l'avons vu (au point \ref{moment_cinetique}) : \textit{en l'absence de forces extérieures le moment cinétique d'un corps reste constant}.\medskip

    Le vecteur de moment cinétique total ($\color{blue}{\vec{\mathcal{L}_{cT}}}$) se décompose alors en deux vecteurs de moments cinétiques distincts : un moment cinétique transversal ($\color{green}{\vec{\mathcal{L}_{ct}}}$) et un moment cinétique longitudinal ($\color{red}{\vec{\mathcal{L}_{cl}}}$) tels que :
    \[\color{blue}{\vec{\mathcal{L}_{cT}}} \color{black}= \color{green}{\vec{\mathcal{L}_{ct}}} \color{black}+ \color{red}{\vec{\mathcal{L}_{cl}}}\]
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}
Par la décomposition, nous constatons donc que le désaxement engendrera une rotation longitudinale (vrille) en plus de la rotation transversale (salto).\par

\begin{minipage}[c]{.69\linewidth}
    \vspace{0.7cm}
    En plus du salto avant tendu, le gymnaste se mettra donc à tourner vers la gauche.
    Plus le vecteur $\color{red}{\vec{\mathcal{L}_{cl}}}$ est grand, plus la rotation longitudinale tournera rapidement et, inversément plus il sera petit, plus la vrille sera lente.\par
    \vspace{0.7cm}
    Lorsque le corps se ré-axe, le moment cinétique devient nul, la vrille s'arrête donc complètement.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.29\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/vrille_gyro_salto_avant_tendu_last.png}
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

\begin{morebox}
    %Grâce à la loi de la conservation de l'énergie, n
    Nous pouvons estimer la quantité de vrille et de salto par rapport au déséquilibre du corps (moment cinétique initial).
    Pour le salto :
    \[\color{green}{\vec{\mathcal{L}_{ct}}} \color{black}= \color{blue}{\vec{\mathcal{L}_{ci}}} \color{black}\times \color{orange}\cos \beta \]
    Et pour la vrille :
    \[\color{red}{\vec{\mathcal{L}_{cl}}} \color{black}= \color{blue}{\vec{\mathcal{L}_{ci}}} \color{black}\times \color{orange}\sin \beta \]
    Où ${\color{orange}\beta}$ est l'angle d'inclinaison avec le plan de la rotation initiale.\bigskip

    Quelques exemples de déséquilibres :
    \begin{enumerate}
        \item Un départ asymétrique (vrille de contact) arrière permet $3\degree$ d'inclinaison.
        \item L'abaissement d'un bras ($\nicefrac{1}{8}$ du poids du corps) peut provoquer une inclinaison de $11\degree$
        \item Un départ asymétrique (vrille de contact) en avant peut provoquer $13\degree$ d'inclinaison.
    \end{enumerate}
    En cumulant les exemples 2 et 3, il est possible d'atteindre les $20\degree$.\bigskip

    Avec cette technique de vrille, le moment cinétique du salto est diminué, puisque le moment total est constant et qu'il existe un transfert de la rotation transversale initiale vers de la rotation longitudinale, la rotation salto devrait donc être ralentie\ldots\bigskip

    Cependant l'inclinaison (hors de l'axe de rotation initial) d'un corps engendre une diminution de sa taille et donc son moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation. Cela engendre done une accélération dans la direction de l'axe de rotation inital.\bigskip

    Or cette accélération est plus importante que la diminution de vitesse due au transfert d'énergie entre la rotation transversale vers le rotation longitudinale.
    Une acrobatie tendue avec vrille tourne donc plus rapidement qu'une acrobatie tendue sans vrille.\par

    % angle	cos2	        sin2
    % 1	    0,999695414	    0,000304586
    % 2	    0,998782025	    0,001217975
    % 3	    0,997260948	    0,002739052
    % 4	    0,995134034	    0,004865966
    % 5	    0,992403877	    0,007596123
    % 6	    0,9890738	    0,0109262
    % 7	    0,985147863	    0,014852137
    % 8	    0,980630848	    0,019369152
    % 9	    0,975528258	    0,024471742
    % 10	0,96984631	    0,03015369
    % 11	0,963591927	    0,036408073
    % 12	0,956772729	    0,043227271
    % 13	0,949397023	    0,050602977
    % 14	0,941473796	    0,058526204
    % 15	0,933012702	    0,066987298
    % 16	0,924024048	    0,075975952
    % 17	0,914518786	    0,085481214
    % 18	0,904508497	    0,095491503
    % 19	0,894005377	    0,105994623
    % 20	0,883022222	    0,116977778
    % 21	0,871572413	    0,128427587
    % 22	0,8596699	    0,1403301
    % 23	0,847329185	    0,152670815
    % 24	0,834565303	    0,165434697
    % 25	0,821393805	    0,178606195
    % 26	0,807830738	    0,192169262
    % 27	0,793892626	    0,206107374
    % 28	0,779596452	    0,220403548
    % 29	0,764959632	    0,235040368
    % 30	0,75	        0,25
    % ou alors, on fait 2 - 2 * COS ß ??? (parce qu'axe de désaxement au nombril et 2 fois perte de longueur : pieds - tête) ??????
\end{morebox}

\newpage

\section{Conclusion}
Il existe plusieurs manières de vriller, le choix d'une méthode par rapport à une autre dépendant du contexte (acrobatie lente ou rapide ; position tendue, carpée ou groupée ; contact avec l'agrès ou pas ; \ldots) et donc de la discipline !
Chaque méthode a ses avantages et inconvénients.\bigskip

Mais il faut garder à l'esprit que si une vrille peut être déclenchée de manière principale par une des techniques ci-dessus, la réalisation de vrilles multiples dans des saltos multiples utilise souvent des interactions complexes entre les différentes méthodes.\bigskip

\begin{dangerbox}{A retenir}
    Une technique de vrille ne peut être arrêter que de deux façons :
    \begin{itemize}
        \item par elle-même : soit en arrêtant les mouvements qui produisent la vrille (mouvement de \textit{Hula Hoop}, mouvement de chat) soit en faisant le mouvement "\textit{inverse}" (réaxement pour une vrille gyroscopique)
        \item par l'entrée en contact avec un agrès (sol, trampoline, tapis, \ldots)
    \end{itemize}
    La vrille de contact ne peut donc être arrêtée \underline{\textbf{que}} par le contact.\medskip
\end{dangerbox}

\newpage

\begin{knowledgebox}
    \begin{itemize}
        \item Savoir lister et décrire les 4 techniques de vrilles :
        \begin{itemize}
            \item Vrille de chat
            \item Vrille \og Hula Hoop \fg
            \item Vrille par transfert de moment cinétique (gyroscopique)
            \item Vrille par orientation du point distal (de contact)
        \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{knowledgebox}