\chapter{La dynamique\label{chap_dynamique}}
Il existe différentes types de mouvements :
\begin{itemize}
    \item Mouvement de translation ou mouvement linéaire : marche, course qui sert de prise d'élan de façon à acquérir de l'énergie cinétique ($E_c$), \ldots
    \item Mouvement de rotation ou mouvement angulaire : l'axe de rotation est perpendiculaire au plan dans lequel s'effectue le mouvement.
II est soit interne (salto, cerceau), soit externe (soleil).\par
\end{itemize}

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Axe interne\par
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/rotation_axe_interne.png}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Axe externe\par
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/rotation_axe_externe.png}
\end{minipage}

Pour les mouvements linéaires, toutes les parties du corps se déplacent à la même vitesse et dans la même direction.
Les mouvements de rotation quant à eux, correspondent au déplacement d'un corps autour d'un axe.
Les mouvements dans la vie de tous les jours comme dans nos disciplines gymniques sont, en général, une combinaison de mouvements de translation et de rotation.

\section{Conséquences des lois de Newton}

\subsection{\texorpdfstring{$1^{ere}$}~ loi de Newton : Principe d'inertie}

Tout corps persévère dans son état de repos ou de Mouvement Rectiligne Uniforme (\textit{MRU}) dans lequel il se trouve si et seulement si les forces extérieures appliquées sur lui se compensent.\medskip

Cela a comme conséquence que :
\begin{itemize}
    \item il est plus facile (i.e. moins couteux en énergie) de conserver l’élan d’un corps qui est en mouvement que de le mettre en mouvement.
    \item les élans consistent à créer de l’inertie pour produire ensuite d'autres mouvements.
    \item la première loi de Newton couplée à l’intervention de la force gravitationnelle (sur terre) impriment aux objets une trajectoire parabolique (sauts, lancés en athlétisme, \ldots)
\end{itemize}

A partir du moment où un corps animé d'une vitesse, horizontale par exemple, est propulsé en l'air et n'a plus aucun point d'appui, sa trajectoire est une parabole et ne peut plus être modifiée.
La hauteur et la longueur de l'envol sont entièrement déterminées par la vitesse, la direction et l'intensité de la force appliquée au corps au moment de l'impulsion.
La trajectoire du \textit{centre de gravité} prend la même direction que la résultante des forces qui agissent sur le corps au moment où il quitte l'agrès et décrit une parabole sous l'effet de la pesanteur.\medskip

\newpage

\underline{Exemple :}\par
Lors d'une impulsion au saut en gymnastique, la trajectoire du centre de gravité peut être modifiée de plusieurs manières\ldots

\begin{minipage}[c][][c]{.34\linewidth}
    En faisant varier la vitesse
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.64\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/trajectoire_parabolique_vitesse.png}\par
\end{minipage}

\begin{minipage}[c]{.34\linewidth}
    En faisant varier l'angle d'attaque
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.64\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/trajectoire_parabolique_angle.png}\par
\end{minipage}

\begin{minipage}[c]{.34\linewidth}
    En faisant varier l'impulsion
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{.64\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{../Img/trajectoire_parabolique_impulsion.png}\par
\end{minipage}

\subsection{\texorpdfstring{$3^{eme}$}s~ loi de Newton : Principe d'action-réaction\label{actionreaction}}
Conséquence de la loi d'action-réaction : plus l'action est importante, plus la réaction le sera aussi\ldots~à condition que le corps sur lequel les forces s'appliquent ne se déforme pas !

\begin{minipage}[b]{.54\linewidth}
    Pour que la réaction soit transmise au centre de gravité, sans fuite de force(s) (amortissement), il faut que le corps soit en alignement et en gainage (aucun relâchement).\par
    \vspace{0.8cm}
    En Gymnastique, moins le corps du gymnaste se déforme sous l'effet de l'impacte, plus il pourra tirer profit de la réaction de l'agrès (trampoline, tremplin, sol, \ldots).\par
    \vspace{0.8cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.44\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/fuite_force_2.png}\par
    Fuite des forces
\end{minipage}


\section{Energie}
\begin{definition}
    L'énergie est la capacité d'un corps à produire un travail mécanique.
\end{definition}

C'est une définition stricte de l’énergie en mécanique.
Contrairement au travail (noté $W$), l’énergie peut être emmagasinée.
Tout corps en mouvement emmagasine de l'énergie.
Dans l'étude biomécanique des mouvement en Gymnastique, nous distinguons trois sortes d'énergie :
\begin{itemize}
    \item L'énergie potentielle (de pesanteur) (notée $E_p$),
    \item L'énergie potentielle élastique (notée $E_{pe}$) et
    \item L'énergie cinétique (notée $E_c$).
\end{itemize}

\subsection{Energie potentielle}
\begin{definition}
    L'energie potentielle de pesanteur est l'énergie que possède un corps en vertu de sa position par rapport au sol ou par rapport à un point d'appui.
\end{definition}

Elle peut se formuler de la manière suivante :

\[\mybox{E_p = m \times g \times h}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $m$ : masse du corps ($kg$)
    \item $g$ : gravité ($9,81\ m/s^2$)
    \item $h$ : hauteur ($m$)\bigskip
\end{itemize}

$m$ et $g$ sont constantes dans un lieu donné et pour un corps donné.
Par contre, la hauteur $h$ peut être modifiée.

\subsection{Energie élastique}
Lorsqu’un corps élastique est comprimé ou étiré, il crée une force de rappel lui permettant de revenir dans sa position d’origine.

\[\mybox{F = k \times l}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $k$ : coéfficient de rappel (ou de raideur) du corps déformé
    \item $l$ : longueur de la déformation (allongement ou raccourcissement) (m)\bigskip
\end{itemize}

\begin{definition}
    L’énergie potentielle élastique est l'énergie emmagasinée dans un corps (à caractère élastique), qui est déformé sous l'action de forces (par rapport à sa position naturelle) et qui a tendance à revenir à sa forme initiale.
\end{definition}

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.3]{../Img/arc_fleche.png}
    % \caption{Arc à flèche.}
\end{figure}

C’est une énergie potentielle, car elle représente un « réservoir » d'énergie qui peut être utilisé pour engendrer des mouvements.
Elle dépend de la forme et de la composition du corps.\bigskip


\[\mybox{E_{pe} = \frac{1}{2} \times k \times l^2}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $k$ : coéfficient de rappel (ou de raideur) du corps déformé
    \item $l$ : longueur de la déformation (allongement ou raccourcissement) (m)\bigskip
\end{itemize}

Exemple : tumbling, trampoline, tremplin, barre, cerceau, ballon, bloc de caoutchouc (ci-dessous), ressort, \ldots

\newpage

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.4]{../Img/deformation.png}
    % \caption{Le corps possède de l'énergie potentielle élastique lorsqu’il est comprimé ou étiré.}
\end{figure}

%On parle également d'énergie élastique au niveau du système musculaire.
Les muscles sont également concernés par l’énergie élastique : un muscle mis en tension (étiré) emmagasine de l’énergie, ce qui permet un retour contractile plus important.
La composante élastique du muscle et le réflexe d’étirement (réflexe myotatique, cf. MSIn Module Souplesse) sont mis en jeu.
Cette capacité du muscle à se mettre en tension pour renvoyer de l’énergie a été décrite dans les contractions dites pliométriques.\par

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/muscle_epelastique.png}
    % \caption{Réflexe myotatique.}
\end{figure}

En Gymnastique, pour profiter au mieux de cette énergie élastique, il faut travailler avec et non contre les engins c’est à dire faire coïncider les efforts d’un mouvement avec le moment où l’agrès restitue l’énergie de tension qui est emmagasinée.
Ainsi lors de rebonds sur un trampoline, il faut synchroniser la poussée des jambes avec le moment où la toile renvoie l’énergie élastique.\bigskip

\underline{Exemples :}\par

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    Lors de mouvements d'armé-fouetté, la mise en tension des muscles de la chaîne antérieure lors de l'armé permet l'accélération dans le fouetté.\par
    {\centering
        \includegraphics[scale=0.45]{../Img/arme_fouette.png}\par
        Armé-fouetté\par
    }
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    En lune salto avant, la mise en tension des muscles de la chaîne antérieure du corps en extension permet un grouper rapide et important.\par
    {\centering
        \includegraphics[scale=0.476]{../Img/lune.png}\par
        Lune salto avant\par
    }
\end{minipage}

\newpage
\subsection{Energie cinétique}
\begin{definition}
    Energie que possède un corps du fait de sa vitesse (linéaire ou angulaire).
\end{definition}
L’énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement.
Elle est égale au travail nécessaire pour faire passer le dit corps du repos à son mouvement de translation ou de rotation.
Elle dépend donc à la fois de la vitesse de l’objet et de sa masse \footnote{Pour aller plus loin : étant donnée que la vitesse d’un objet dépend du référentiel choisi, c’est aussi le cas de l’énergie cinétique.
L’énergie cinétique se note $E_c$ et s’exprime en joule (J).}


\subsubsection*{Mouvement linéaire}
Si un objet de masse $m$ se déplace à une vitesse $v$ en suivant un mouvement de translation alors son énergie cinétique $E_c$ est donnée par la formule :
\[\mybox{E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^{2}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $m$ : masse ($kg$)
    \item $v$ : vitesse ($m/s$)
\end{itemize}

\subsubsection*{Mouvement angulaire}
Si un objet de masse $m$ se déplace à une vitesse angulaire $\omega$ alors son énergie cinétique de rotation $E_c$ est donnée par la formule :
\[\mybox{E_c = \frac{1}{2} \times \vec{I} \times \omega^2} \]
\medskip
Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{I}$ : moment d'inertie (en kg.m$^2$)
    \item $\omega$ : vitesse angulaire\bigskip
\end{itemize}

% Le facteur vitesse (linéaire ou angulaire) est très important puisqu'il est le seul variable.


\subsection{Conservation d'énergie\label{energy_conservation}}
Selon la loi de la conservation d’énergie, l’énergie ne peut ni se créer ni se détruire, mais
seulement se transformer d’une forme à une autre.
\og \textit{Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme} \fg~ (Lavoisier 1777).\medskip

Cela implique que la quantité d’énergie d’un système isolé reste constante.
Mis en équation, cela signifie :

\[\mybox{E_{mt} = E_c + E_p + E_{pe}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $E_{mt}$ : énergie mécanique totale
    \item $E_c$ : énergie cinétique (linéaire et/ou angulaire)
    \item $E_p$ : énergie potentielle
    \item $E_{pe}$ : énergie potentielle élastique\bigskip
\end{itemize}
Il peut y avoir des échanges entre les différentes formes d’énergie mais l’énergie mécanique totale reste constante.

\newpage

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.43]{../Img/transformation_energie.png}
\end{figure}

Pour que l'energie puisse être transférée avec un maximmum d'efficacité (avec la plus grande conservation, le moins de fuite de force possible) deux conditions doivent être respectées :
\begin{itemize}
    \item la rigidité du corps doit être maximum : le corps dit être le moins déformable possible (risque de choc mou, \ldots)
    \item l'alignement des segments (i.e. des masses), si possible au-dessus du point d’appui.
\end{itemize}
L'énergie emmagasinée dans une partie du corps peut être transmise à une autre partie ou au corps tout entier si celui-ci est tonique/gainé et s'il y a blocage de l'articulation concernée.
L'énergie (cinétique) emmagasinée dépend de deux facteurs combinés : la vitesse et l'angle balayé.\bigskip

\underline{Exemple :}\par

Lors d'un saut vertical, les bras, par un mouvement rapide de bas en haut, accumulent de l'$E_c$.
Celle-ci sera transmise au reste du corps par blocage des bras.
Cette action s'ajoutera à la poussée des jambes.\bigskip

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Transmission d'énergie\par
    \bigskip
    \includegraphics[scale=0.5]{../Img/transfertE4.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Pas de transmission\par
    \bigskip
    \includegraphics[scale=0.55]{../Img/transfertE5.png}
\end{minipage}

\[\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}\]

\section{Quantité de mouvement et impulsion}

\subsection{Quantité de mouvement}
\vspace{-0.4cm}
\begin{definition}
    La quantité de mouvement (\textit{momentum} en anglais) d'un corps est le produit de la masse par la vitesse.
\end{definition}

\[\mybox{\vec{p} = m \times \vec{v}}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{p}$ : quantité de mouvement
    \item $m$ : masse du corps ($kg$)
    \item $\vec{v}$ : vitesse du corps ($m/s$)
\end{itemize}
La quantité de mouvement peut être vue comme le maintien d'une impulsion.
Pour un corps isolé ou pseudo-isolé, la quantité de mouvement reste constant.

\subsection{Moment cinétique\label{moment_cinetique}}
Le moment cinétique (ou moment angulaire) d'un corps $M$ par rapport à un point $O$ est le moment de la quantité de mouvement $\vec{p}$ par rapport au point $O$.

\[\mybox{{\mathcal{L}}_c = \vec{OM} \wedge \vec{p}}\]

Où :
\begin{itemize}
	\item $\mathcal{L}$ : moment cinétique
	\item $\vec{p}$ : quantité de mouvement
	\item $\vec{OM}$ : bras de levier de la force
	% \item $\beta$ : angle entre le bras de levier et la force\par
\end{itemize}

Nous retrouvons la même formule que le moment d'une force (cf. Syllabus \textit{Forces}) dans laquelle la force $\vec{F}$ est remplacée par la quantité de mouvement $\vec{p}$.\medskip

Cette définition est cependant trop abstraite pour nous.
Retenons plutôt la définition suivante :

\begin{definition}
    Le moment cinétique d'un corps est la quantité de mouvement angulaire de ce corps.
\end{definition}

Dans le cas d'une rotation, le moment cinétique joue donc un rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation.

\[\mybox{\vec{{\mathcal{L}}_c} = \vec{I} \times \omega}\]

Où :
\begin{itemize}
    \item $\vec{{\mathcal{L}}_c}$ : moment cinétique (en kg.m$^2$.s$^{-1}$)
    \item $\vec{I}$ : moment d'inertie (en kg.m$^2$)
    \item $\omega$ : vitesse angulaire (en rad/sec)\bigskip
\end{itemize}

Le moment cinétique dépendant du moment d'inertie : quand ce dernier varie cela impacte le moment cinétique.
Mais \underline{le moment cinétique d'un système isolé ou pseudo-isolé reste constant}.
% Cependant, \underline{en l'absence de toute force extérieure, le moment cinétique reste constant}.
Cela a comme conséquence que pour un corps isolé ou pseudo-isolé seule la vitesse angulaire peut varier lorsque le moment d'inertie change.
Cette invariabilité permet également le transfert comme nous le montre les exemples ci-dessous.\medskip
% Reprenons l'exemple du gymnaste réalisant un salto arrière : lors d'un salto arrière tendu, si le gymnaste groupe, la diminution du moment d'inertie provoquera donc une accélération de la rotation.\bigskip


\newpage

\underline{Exemple 1 :}\par

Passage de la position couchée à la position assise par ouverture-blocage

\begin{figure}[h!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.18]{../Img/transfert_energie_2.png}
\end{figure}

Comme pour la transmission d'énergie, la qualité du transfert de moment cinétique dépend de :
\begin{itemize}
    \item la rigidité du corps qui doit être maximmum et
    \item l’alignement des segments (i.e. la répartition des masses).\medskip
\end{itemize}

\underline{Exemple 2 :}\par

Monter ATR aux barres\bigskip

\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Transmission par blocage\par
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    Pas de transmission\par
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.40]{../Img/transfertE2.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[b]{.49\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.35]{../Img/transfertE3.png}
\end{minipage}

La conservation du moment cinétique sera également mise à profit dans la création et le contrôles de rotations (chapitres \ref{chap_rotation_transversale}, \ref{chap_rotation_longitudinale} et \ref{chap_controle_rotation}).



\subsection{Impulsion}
La notion d'\textit{impulsion} %ou de \textit{moment linéaire}
généralise celle de quantité de mouvement.
L'impulsion peut être vue comme la variation de quantité de mouvement entre deux instants.
Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas.
Néanmoins ces deux grandeurs sont distinctes.

\[\mybox{I = \| \vec{F} \| \times t}\]
Où :
\begin{itemize}
    \item $I$ : impulsion
    \item $\| \vec{F} \|$ : intensité (valeur numérique) de la force $\vec{F}$
    \item $t$ : temps de l'impulsion\bigskip
\end{itemize}

Pour maximiser l'impulsion, il faut donc que la force appliquée soit la plus grande possible et qu'elle le soit pendant le temps le plus long possible.
Tout n'est cependant pas aussi simple, il faut tenir compte de plusieurs facteurs :
\begin{itemize}
    \item le comportement des éléments extérieurs (agrès),
    \item la manière dont la force peut être appliquée (direction, rigidité, \ldots) et
    \item les limites physiologiques/anatomiques : un corps humain peut fournir une force explosive pendant un très court laps de temps (sprint) ou peut exercer une force faible pendant une longue période (marathon) mais ne peut pas fournir une force explosive pendant une longue période (spinter pendant 42km).
\end{itemize}

\newpage

\begin{morebox}
    L'impulsion et la quantité de mouvement sont équivalentes lorsque la vitesse est linéaire (i.e. non angulaire) :

    \[I = \| \vec{F} \| \times t ~~et~~ \| \vec{F} \| = m \times \| \vec{a} \| ~~\rightarrow~~ I = m \times \| \vec{a} \| \times t\]
    Or
    \[\vec{a} = \frac{\vec{v}}{t}  ~~\rightarrow~~ \| \vec{a} \| = \frac{\| \vec{v} \|}{t} \]
    Donc
    \[I = m \times \frac{\| \vec{v} \|}{\cancel{t}} \times \cancel{t} = m \times \| \vec{v} \| = P\]
\end{morebox}

\vspace{0.3cm}

On peut ainsi distinguer deux formes d'impulsion :
\begin{itemize}
    \item une poussée sur un agrès : par exemple impulsion bras ou jambes.
    Dans ce cas l'impulsion doit être la plus rapide possible (mouvement balistique) : il faut réduire au maximum le temps de contact, au profit de l'intensité de la force exercée.
    \item une action segmentaire (e.g. fermeture/ouverture) : dans ce cas là, le temps d'impulsion doit être le plus long possible pour augmenter la quantité de mouvement.
    Lors d'un lancer en GRS, un chemin d'impulsion plus long est privilégié car l'intensité de la force est moindre.
    De plus cela permet de bien diriger l'engin au moment du lâcher.\bigskip
\end{itemize}

L'impulsion dépend de :
\begin{itemize}
    \item l'élasticité de la surface, qui déterminera la durée du chemin d'impulsion et la force de réaction ;
    \item la rigidité du corps au moment du contact avec un blocage articulaire pour un meilleur transfert des forces.
    Plus la vitesse est grande, plus le corps doit être rigide (d'où la notion de vitesse optimale et non maximale\footnote{La vitesse optimale est la plus grande vitesse utilisable par un gymnaste, en fonction de ses qualités physiques.});
    \item la position des segments et articulations : l'alignement est nécessaire pour éviter la fuite des forces (cf. point \ref{actionreaction}, bassin en rétroversion ou en position neutre, \ldots ;
    \item l'angulation à l'impulsion réglée en fonction de l'élasticité de la surface, des modalités de prise d'élan et de la complexité des figures à réaliser.
\end{itemize}

\newpage

\begin{knowledgebox}
    \begin{itemize}
        \item les types de mouvements
        \item les conséquence des lois de Newton
        \item énergie
        \begin{itemize}
            \item énergie potentielle
            \item énergie élastique
            \item énergie cinétique
            \item conservation de l'énergie
        \end{itemize}
        \item quantité de mouvement
        \item impulsion
        \item transfert d'énergie
    \end{itemize}
\end{knowledgebox}